证明线段相等是最常见的几何题，而证明线段的不等关系也会常常遇到，这类题型该怎么考虑？从哪里切入？今天就谈谈这个问题.
首先，若在同一个三角形中，通过定理“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”可作出判断；当要证的不等关系中的线段，不在同一个三角形中时，可设法构造全等三角形，通过等量代换将它们集中到同一个三角形中，然后利用三角形的三边关系定理加以证明.
下面我们通过三道典型例题来详细探究这个问题：
例1、已知：如下图所示，△ABC中，AB＞AC，AD为三角形的中线. 求证：AD＜1/2（AB+AC）.
分析：要求证的不等式可以变形为2AD＜AB+AC，需将2AD，AB，AC三线段集中到同一个三角形中，为此，如下图所示，延长AD到E，使DE=AD，则AE=2AD，这样问题就转化为证AE＜AB+AC即可. 连接CE，则由SAS定理可证得△ABD≌△ECD，所以EC=AB. 于是三条线段就集中到△AEC中，由三角形三边关系定理便可推出结论.
点评：要把证明的线段集中到同一个三角形中是解决问题的关键，是战略思想，然后“见中点，要倍长，倍长之后证全等”是具体步骤，知行合一，从而得到解决问题的钥匙.
例2、如下图所示，△ABC中，AB=AC，D是AB上一点，延长AC到E，使CE=BD，DE交BC于点F. 求证：DE＞BC.
分析：要证DE＞BC，即证DF+FE＞BC. 因此，需构造一个三角形，使线段DF、EF、BC为这个三角形的三边.
如下图，延长FB到G，使BG=CF，连接DG. 由SAS可证得△BDG≌△CEF，所以DG=EF，在△DFG中，有DF+DG＞GB+BF，所以DF+EF＞CF+BF，即DE＞BC.
点评：设法把要证的边转化到同一个三角形中是解决问题的关键.
例3、已知：如下图所示，在△ABC中，AB＞AC，AD为∠A的平分线，P为AD上任意一点. 求证：PB-PC＜AB-AC.
分析：要证的不等式是两边之差，故可联想三角形两边之差小于第三边的定理，若把AB-AC变成一个三角形的边将是很好的一个思路. 在AB上截取AE=AC，则BE=AB-AC. 这样PB、BE在同一个三角形中，即PB与AB-AC在△BPE中，若能证出PE=PC，问题就可以解决. 因为AD为∠A的平分线，AE=AC，很容易由SAS定理证得△APE≌△APC，所以PE=PC，问题得到解决.
点评：当所证的式子中多于三条线段，常需截长补短，作出线段差或线段和，构造全等三角形，将它们集中在同一三角形中，利用三角形两边之和大于第三边，或两边只差小于第三边来证明.
【配套练习】
1、已知：如下图，AD是△ABC的中线，∠ADB、∠ADC的平分线分别交AB、AC于点E、F. 求证：BE+CF＞EF.
2、已知：如下图，AD为△ABC的角平分线，过A引直线MN⊥AD，过B作BE⊥MN于点E. 求证：EB+EC＞AB+AC.
【答案】
1、如下图，延长ED到G，使DG=ED，连接FG，证FG=EF，GC=BE，∵ CG+CF＞EG，∴ BE+CF＞EF.
2、如下图，在CA延长线上截取AF=AB，连接FE，证FE=BE ∵ FE+EC＞FC，∴ EB+EC＞AB+AC.
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