等腰和等边三角形的性质和判定

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一.等腰三角形

1.等腰三角形的定义

有两边相等的三角行是等腰三角形、相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角时做底角，顶角是直角的等腰三角形是等腰直角三角形，

特别注意：

（1）等腰三角形是特殊的三角形，它具备三角形所有的性质，如内角和是180°，两边之和大子第三边等。

（2）等腰三角形是轴对称图形。

2.等腰三角形的性质

(1).等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。

(2).等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成”三线合一”）

特别注意：

（1）“等边对等角”只有在同一个三角形中才能应用，若相等的线段不是同一个三角形的边，则不能应用该性质；

（2）运用“等边对等角”可以由顶角求底角，或由底角求顶角，也是证明角相等的常用方法。

3.等腰三角形的判定

（1）定义法：有两条边相等的三角形是等腰三角形。

（2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）

这时在△ABC中的已知条件是“∠B=∠C”，结论是“AB=AC”，证明的方法同样有三种，即三种添加辅助线的方法，请读者自己证明.由此可见：

性质定理

等腰三角形﹤=＝＝＝＝＝﹥两角相等

判定定理

二者的题设与结论正好相反

例题应用：

例1.如图，点D，E在△ABC的边BC上AB=AC，AD=AE.求证：BD=CE.

【解析 】 在解决有关等腰三角形的问题时，一般可以作三种辅助线：作等腰三角形顶角的平分线或底边上的高或底边上的中线，从而可以运用“三线合一”

证明 如图，过点A作AF⊥BC，垂足为点F.

∵AB=AC，AD=AE，

∴AF为△ABC和△ADE的中线，

∴BF=CF，DF=EF.

∴BF-DF=CF-EF，即BD=CE.

【小结】等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高均为等腰三角形的对称轴。

二.等边三角形

1. 等边三角形的定义

等边三角形是三边都相等的三角形，也叫正三角形。

根据定义，等边三角形的三条边都相等，则任意两条边都相等，所以等边三角形是特殊的等腰三角形。

2. 等边三角形的性质

（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°

（2）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，三条对称轴交于一，该点称为“中心”。（3）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质。

（4）等边三角形外心、内心、重心、垂心四心合一。

3. 等边三角形的判定

（1）定义法：三条边都相等的三角形是等边三角形。

（2）三个角都相等的三角形是等边三角形。（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

4. 含30°角的直角三角形的性质和判定

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°.

如图，在Rt△ABC中，∠B=30°，则AC=½AB.

例题应用：

【解析】此类题考查了30°直角三角形的性质，矩形的判定与性质，线段的垂直平分线的判定与性质的综合应用，解这样综合性比较强的题，有助益提高学生分析问题，解决问题的能力，是比较难的题.

1、本题是一道30°的直角三角形的性质，矩形的判定与性质，线段的垂直平分线的判定与性质的综合题，解题的关键是灵活应用；

2、证明四边形AEDF为矩形，得到DE=AF，根据直角三角形的性质得到DE等于BD的一半，即可得到DE等于AC的一半；

过点D作DE垂直AB，DF垂直于AC