因式分解在有理数计算中的巧妙应用

繁杂的有理数计算需要一定的技巧，其中因式分解是常见的方法之一。请看：

例1 计算：1999+999^².

解析：注意两个加数都带有“999”，把1999写成：1000+999，则

原式=1000+999+999^²

=1000+999(999+1)

=1000+999×1000

=1000(999+1)

=1000×1000

=1000000.

例3 计算：2^²⁰¹⁹-2^²⁰¹⁸-2^²⁰¹⁷-…-2^²-2．

解析：因为2^²⁰¹⁹-2^²⁰¹⁸=2^²⁰¹⁸(2-1)= 2^²⁰¹⁸，

2^²⁰¹⁸-2^²⁰¹⁷=2^²⁰¹⁷(2-1)=2^²⁰¹⁷，

由此可见，从第一个数2^²⁰¹⁹开始，每减去一个数，减数就少了一个，且指数2019就减少1，所以

原式=2^²⁰¹⁸-2^²⁰¹⁷-2^²⁰¹⁶-…-2^²-2

=2^²⁰¹⁷-2^²⁰¹⁶-…-2^²-2

……

=2^²-2

=2.