举一反三系列04——弦图问题

我们知道，勾股定理的证明是通过四个全等直角三角形的勾股弦拼成一个大的正方形和一个小的正方形（这个图形称为弦图），然后利用面积关系得以解决的．以弦图为背景的问题屡见不鲜，层出不穷．

例 如图，将矩形ABCD的四边BA、CB、DC、AD分别延长至E、F、G、H，使得AE＝CG，BF＝DH，连结EF、FG、GH、HE．

（1）求证：四边形EFGH为平行四边形；

（2）若矩形ABCD是边长为1的正方形，且∠FEB＝45°，AH＝2AE，求AE的长．

思路分析：（1）这是一个变异的弦图，但这个问题与弦图问题相差无几。欲证四边形EFGH为平行四边形，由于平行四边形的判定有五种方法，究竟采用哪一种应根据题给条件进行确定；

（2）设AE=x，利用方程求解。

（1）证明：在矩形ABCD中，

AD＝BC，∠BAD＝∠BCD＝90°．

∵BF＝DH，

∴AD＋DH＝BC＋BF，即AH＝CF．

又AE=CG，

所以Rt△AEH≌Rt△CFG，

∴EH＝FG；

同理得，EF＝HG，

∴四边形EFGH为平行四边形；

（2）解：设AE＝x，则AH＝2x，

因为正方形ABCD的边长为1，

所以BE＝x＋1．

在Rt△BEF中，∠BEF＝45°，

∴BE＝BF，

∵BF＝DH，∴DH＝BE＝x＋1，

∴AH＝AD＋DH＝x＋2，

所以2x＝x＋2，x＝2，

即AE＝2．

练习：

1.如图，四个全等的直角三角形围成一个以斜边c为边的大正方形和以两直角边a、b的差a-b为边的小正方形。如果大正方形的面积为100，小正方形的面积为4，则a+b= .

2四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S的小正方形EFGH．已知AM为Rt△ABM较长直角边，AM＝2√2EF，则正方形ABCD的面积为（ ）

A．12S B．10S C、．9S D．8S

3.我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图1所示．在图2中，若正方形ABCD的边长为14，正方形IJKL的边长为2，且IJ//AB，则正方形EFGH的边长为________．