题型一：正比例

例题．已知函数f(x),当x,y∈R时，恒有f(x+y)=f(x)+f(y)

(1)．求证:f(x)是奇函数

(2)．若f(-3)=a,用a表示f(24)

①令y=-x，f(x-x)=f(x)+f(-x)

∴f(x)+f(-x)=f(0)

令x=y=0,则f(0)=2f(0)=0

∴f(x)+f(-x)=0,∴f(x)=-f(-x)

∴f(x)是奇函数

②∵f(24)=f(3)+f(21)=2f(3)+f(18)=.....=8f(3)

又∵f(-3)=a,∴f(3)=-a，∴f(24)=-8a

题型二：对数函数型

例题：函数f(x)对于x>0有意义，且满足条件f(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y),f(x)是减函数

（1）证明：f(1)=0;

（2）若f(x)+f(x-3)≥2成立，求x的取值范围。

①证明：令x=y=1，

则f(1×1)=f(1)+f(1),

故f(1)=0

②∵f(2)=1,令x=y=2

∴f(4)=f(2×2)=f(2)+f(2)=2f(2)=2,

f(x)+f(x-3)=f[x(x-3)]

∴f[x(x-3)]≥f(4)

∵f(x)是减函数

∴x(x-3)≤4,∴x²-3x-4≤0

成立的x的取值范围是-1≤x≤4

题型三:指数函数型

例题. 已知函数f(x)的定义域为R,对任意实数m,n都有f(m+n)=f(m)f(n),且当x>0时,0<f(x)<1.

(1) 证明:f(0)=1,且x<0时,f(x)>1;

(2) 证明: f(x)在R上单调递减;

解：(1)令m=0,n=1,

f(0+1)=f(0)f(1)

∵当x>0时,0<f(x)<1

∴f(1)>0,f(0)=1

∵x>0,∴-x<0

∵f(-x+x)=f(-x)f(x)

f(0)=1,x>0时,0<f(x)<1

∴f(-x)>1

∴x<0时,f(x)>1

(2)任取x1,x2∈R,且x1<x2

则f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)

=f(x2-x1)·f(x1)-f(x1)

=[f(x2-x1)-1]·f(x1)

∵x2-x1>0,∴0<f(x2-x1)<1,

故f(x2-x1)-1<0,∵f(x1)>0

∴[f(x2-x1)-1]·f(x1)<0

∴ f(x2)-f(x1)<0,∴f(x1)>f(x2)

∴函数f(x)是R上的单调减函数.

题型四：幂函数型

题型五：三角函数型