正方形中的十字架问题，学会这些犹如神助！

【正方形内的十字架结构】

1、在正方形ABCD中，BN⊥AM，则常见的结论有哪些？

1图

2、在正方形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、CD、BC、AD边上的点，若EF⊥GH，上述结论是否仍然成立？

2图

2图

当然是仍然成立的，所以大体上思路是“从垂直可利用全等推导出相等”

【思考】从相等是否可推导出垂直？

3、在正方形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、CD、BC、AD边上的点，若EF=GH，则EF与GH是否垂直，若不是，请画出反例.

如图，垂直只是相等时的一种情况，另一种，只需使得AH’=DH，BG’=CG’即可作出HG=H’G’

3图

利用上述结论，做题可就方便多了！

例题1、如图，将边长为4的正方形纸片ABCD折叠，使得点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F在AD边，求折痕FG的长；

例1

【解析】

连接AE，由轴对称的性质可知，AE⊥FG（应该是FG垂直平分AE）

这样就可以直接用上面的结论啦！

所以由垂直得到相等，所以FG=AE=

例1

【十字结构在矩形中】

【思考】既然正方形内可出现垂直，那么矩形内出现垂直会有什么结论呢？

1、如图，在矩形ABCD中，AB=m，AD=n，在AD上有一点E，若CE⊥BD，则CE和BD之间有什么数量关系？

这里面基本型较多，有相似里的直角母子型，又有A形相似，但是为了延续上面的探究

我们要讲的模型是△CDE∽△BCD，证明较简单，不证了，记住这个结论所以CE/BD=CD/BC=m/n即CE和BD之比等于矩形邻边之比

2、如图1，一般情况，在矩形ABCD中，E、F、G、H分别为AD、BC、AB、CD边上的点，当EF⊥GH时，有的结论，证明方法如图2，证明△FME∽GNH即可

看到上面加粗的字了吗？这个点的所在边为什么要确定？

因为言五君发现，仅仅使得EF⊥GH，会出现下图情况，此时仍有相似，但EF/GH=AB/AD不再成立

例题1、如图，已知直线y=-1/2x+2与x轴、y轴分别交于B、A两点，将△AOB沿着AB翻折，使点O落在点D上，当反比例函数y=k/x经过点D时，求k的值.

【解析】

求出点D的坐标就好啦！

这个题学生不会做，主要是图不完整，太空啦！

所以把它围成一个矩形就好啦！（如图）

发现连接OD后，有OD⊥AB（发现没有，矩形内部垂直模型出来了！）

【练习】

如图把边长为AB＝6，BC＝8的矩形ABCD对折，使点B和D重合，求折痕MN的长.

答案：15/2

【十字结构在直角三角形中】

我们知道直角三角形是可以看成是连接矩形对角线后分成的图形

所以矩形的结论可沿用至直角三角形内

例题1、在Rt△ACB中，AC=4，BC=3，点D为AC上一点，连接BD，E为AB上一点，CE⊥BD，当AD=CD时，求AE的长；

【解析】

如图，补成矩形ACBH，延长CE交AH于点G

【练习】

1、如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC，点D为BC边上的中点，BE⊥AD于点E，延长BE交AC于点F，则AF：FC的值为___________.

答案：2

【十字结构在其他四边形中】

1、（2017届滨湖区期中）如图，把边长为AB＝

、BC＝4且∠B=45°的平行四边形ABCD对折，使点B和D重合，求折痕MN的长

【解析】

看着不熟悉吗？

怎么转换为熟悉的模型呢？

看下面，补成矩形不就好了！

后面的过程基本就和前面讲过的一样咯！

2、（2013·武汉中考改编）如图，若BA=BC=6，DA=DC=8，∠BAD=90°．DE⊥CF，请求出DE：CF的值．

【解析】

咋一看，又是个不规则的图形

再仔细看一下条件，发现其实是个轴对称的图形

再利用一下条件，可算出BD=10，发现△BCD也是个直角三角形

要求DE与CF的比值，仍然往我们熟悉的模型上靠拢

将这个图形补成矩形

【课后习题】