[初中数学]三角形内外角平分线夹角模型及有关问题

一、三角形内外角平分线夹角模型

模型呈现：

如图，已知，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，CH平分∠ACI，BG平分∠EBC，CG平分∠BCF．试探究∠BDC，∠BHC，∠BGC与∠A的关系．

分析：

这是本章的最后一个重要模型，要结合整体思想，外角定理综合运用．

解答：

补充结论：

其实这个模型中，还能有许多发现，比如，

∠GBD＝90°，∠DCH＝90°，

理由是邻补角的角平分线互相垂直．

∠BGC和∠BHC互余，∠BGC和∠BDC互补，

在△DCH中，∠BDC作为外角，∠BDC＝90°＋∠BHC．

例1：

如图，O是三角形三条角平分线的交点，∠1＝15°，则∠2＝_____°．

分析：

本题的关键是，发现∠2的作用，∠2可以作为△AOB的外角，即∠OAB和∠OBA的和，又是∠AOB的邻补角，∠AOB是三角形两内角平分线的夹角，因此本题既可以用一步一步完成，也可用结论模型口算．

解答：

例2：

如图，在△ABC中，∠A＝60°，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，M、N、Q分别在DB、DC、BC的延长线上，BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ，则∠F＝_______．

分析：

本题是一道将三个模型结合在一起的题目，我们要关注哪些角可以求，∠BDC是两内角平分线的夹角，则知道∠A即可求，∠E是两外角，∠MBC，∠NCB的角平分线的夹角，则知道∠BDC即可求，∠F是△EBC的内角∠EBC和外角∠ECQ的角平分线夹角，则知道∠E即可求．

解答：

例3：

分析：

解答：

综上所述，结论正确的是①②③⑤共4个．

二、多边形内外角计算

例1：

一个学生计算多边形的内角和，少算了一个内角，得到答案是1400°，求少算的内角的度数及多边形边数．

分析：

显然，根据多边形内角和公式(n－2)·180°，可知内角和一定是180度的倍数，我们可以用1400除以180，算出其余数，那么自然可得，少算的那个内角与余数的和一定是180度的倍数，而根据多边形每个内角必然小于180°，则这个内角度数就是用180°减去这个余数即可．

解答：

1400°÷180°＝7······140°，

180°–140°＝40°，

设多边形边数为n，

(n–2)·180＝1400＋40，

n＝10

答：少算的内角度数为40°，边数为10．

例2：

一个学生计算多边形的内角和，多算了一个外角，得到答案是1400°，求多算的外角的度数及多边形边数．

分析：

显然，本题是上一题的变式，方法还是用1400除以180，算出其余数，那么多算的外角度数，就是这个余数．

解答：

1400°÷180°＝7······140°，

设多边形边数为n，

(n–2)·180＝1400－140，

n＝9

答：多算的外角度数为140°，边数为9．

例3：

一个多边形每个内角都等于150°，求这个多边形的边数．

分析：

本题不难，但我们要学会多种思路解题，可以从多边形内角和公式入手，也可以逆向思维，求出每个外角的度数，用外角和除以每个外角的度数．

解答：

法1：

设多边形边数为n，

(n–2)·180＝150n，

n＝12

法2：

180°－150°＝30°，

360°÷30°＝12

答：多边形边数为12．

三、作图探究

例：

在△ABC中，∠ACB＝90°，BD是△ABC的角平分线，P是射线AC上任意一点(不与A、D、C三点重合)，过点P作PQ⊥AB，垂足为Q，交直线BD于E．

(1)探索∠PDE与∠PED的关系，画出图形并说明理由．

(2)作∠CPQ的角平分线交直线AB于点F，则PF与BD有怎样的位置关系？画出图形并说明理由．

分析：

本题中，点P的位置不确定，在射线AC上，就有多种可能，线段AD上，线段DC上，线段DC延长线上，在延长线上时，又要考虑垂足Q的位置，可能在线段AB上，也可能在线段AB的延长线上．因此，分四种情况讨论．碍于篇幅，我们将两小题的图汇总在一起．

解答：

①点P在线段AD上

(1)∵PQ⊥AB，∴∠EQB＝∠C＝90°，

∴∠PED＋∠EBQ＝90°，∠CBD＋∠CDB＝90°，

∵∠PDE＝∠CDB，∴∠CBD＋∠PDE＝90°，

∵BD为∠ABC的平分线，∴∠CBD＝∠EBQ，

∴∠PDE＝∠PED；

(2)在四边形PQBC中，

∠CPQ＋∠CBA＝360°－2×90°＝180°

∵PF平分∠CPQ，BD平分∠CBA

∴∠1＋∠2＝90°

∵∠1＋∠3＝90°

∴∠2＝∠3，PF∥BD

②点P在线段DC上

(1)∵PQ⊥AB，∴∠EQB＝∠C＝90°，

∴∠BEQ＋∠EBQ＝90°，∠CBD＋∠PDE＝90°，

∵∠PED＝∠BEQ，∴∠PED ＋∠EBQ＝90°，

∵BD为∠ABC的平分线，∴∠CBD＝∠EBQ，

∴∠PDE＝∠PED；

(2)在四边形PQBC中，

∠CPQ＋∠CBA＝360°－2×90°＝180°

∵PF平分∠CPQ，BD平分∠CBA

∴∠1＋∠2＝90°

∵∠1＋∠3＝90°

∴∠2＝∠3，PF∥BD

③点P在线段DC延长线上，点Q在线段AB上

(1)∵PQ⊥AB，∴∠EQB＝∠ACB＝90°，

∴∠BEQ＋∠EBQ＝90°，∠CBD＋∠PDE＝90°，

∵∠PED＝∠BEQ，∴∠PED ＋∠EBQ＝90°，

∵BD为∠ABC的平分线，∴∠CBD＝∠EBQ，

∴∠PDE＝∠PED；

(2)∵∠CPQ＋∠A＝90°

∠CBA＋∠A＝90°

∴∠CPQ＝∠CBA

∵PF平分∠CPQ，BD平分∠CBA

∴∠1＝∠2

∵∠1＋∠3＝90°

∴∠2＋∠3＝90°，PF⊥BD

④点P在线段DC延长线上，点Q在线段AB延长线上

(1)∵PQ⊥AB，∴∠EQB＝∠ACB＝90°，

∴∠PED＋∠EBQ＝90°，∠CBD＋∠PDE＝90°，

∵∠ABD＝∠EBQ，∴∠PED ＋∠ABD＝90°，

∵BD为∠ABC的平分线，∴∠CBD＝∠ABD，

∴∠PDE＝∠PED；

(2)∵∠CPQ＋∠A＝90°

∠CBA＋∠A＝90°

∴∠CPQ＝∠CBA

∵PF平分∠CPQ，BD平分∠CBA

∴∠1＝∠2

∵∠1＋∠3＝90°

∴∠2＋∠3＝90°，PF⊥BD

上讲思考题答案