初中数学因式分解习题大全

一．填空题（共10小题）

1．已知x+y=10，xy=16，则x²y+xy²的值为 ．

2．两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2（x﹣1）（x﹣9）；另一位同学因看错了常数项分解成2（x﹣2）（x﹣4），请你将原多项式因式分解正确的结果写出来： ．

3．若多项式x²+mx+4能用完全平方公式分解因式，则m的值是 ．

4．分解因式：4x²﹣4x﹣3= ．

5．利用因式分解计算：202²+202×196+98²= ．

6．△ABC三边a，b，c满足a²+b²+c²=ab+bc+ca，则△ABC的形状是 ．

7．计算：1²﹣2²+3²﹣4²+5²﹣6²+…﹣100²+101²= ．

8．定义运算a★b=（1﹣a）b，下面给出了关于这种运算的四个结论：

①2★（﹣2）=3

②a★b=b★a

③若a+b=0，则（a★a）+（b★b）=2ab

④若a★b=0，则a=1或b=0．

其中正确结论的序号是 （填上你认为正确的所有结论的序号）．

9．如果1+a+a²+a³=0，代数式a+a²+a³+a⁴+a⁵+a⁶+a⁷+a⁸= ．

10．若多项式x²﹣6x﹣b可化为（x+a）²﹣1，则b的值是 ．

二．解答题（共20小题）

11．已知n为整数，试说明（n+7）²﹣（n﹣3）²的值一定能被20整除．

12．因式分解：4x²y﹣4xy+y．

13．因式分解

（1）a³﹣ab²

（2）（x﹣y）²+4xy．

14．先阅读下面的内容，再解决问题，

例题：若m²+2mn+2n²﹣6n+9=0，求m和n的值．

解：∵m²+2mn+2n²﹣6n+9=0

∴m²+2mn+n²+n²﹣6n+9=0

∴（m+n）²+（n﹣3）²=0

∴m+n=0，n﹣3=0

∴m=﹣3，n=3

问题：

（1）若x²+2y²﹣2xy+4y+4=0，求x^y的值．

（2）已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足a²+b²﹣6a﹣6b+18+|3﹣c|=0，请问△ABC是怎样形状的三角形？

15．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．如4=2²﹣0²，12=4²﹣2²，20=6²﹣4²，因此4，12，20这三个数都是和谐数．

（1）36和2016这两个数是和谐数吗？为什么？

（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的和谐数是4的倍数吗？为什么？

（3）介于1到200之间的所有“和谐数”之和为 ．

16．如图1，有若干张边长为a的小正方形①、长为b宽为a的长方形②以及边长为b的大正方形③的纸片．

（1）如果现有小正方形①1张，大正方形③2张，长方形②3张，请你将它们拼成一个大长方形 （在图2虚线框中画出图形），并运用面积之间的关系，将多项式a²+3ab+2b²分解因式．

（2）已知小正方形①与大正方形③的面积之和为169，长方形②的周长为34，求长方形②的面积．

（3）现有三种纸片各8张，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），求可以拼成多少种边长不同的正方形．

17．（1）有若干块长方形和正方形硬纸片如图1所示，用若干块这样的硬纸片拼成一个新的长方形，如图2．

①用两种不同的方法，计算图2中长方形的面积；

②由此，你可以得出的一个等式为： ．

（2）有若干块长方形和正方形硬纸片如图3所示．

①请你用拼图等方法推出一个完全平方公式，画出你的拼图；

②请你用拼图等方法推出2a²+5ab+2b²因式分解的结果，画出你的拼图．

18．已知a+b=1，ab=﹣1，设s₁=a+b，s₂=a²+b²，s₃=a³+b³，…，s_n=aⁿ+bⁿ

（1）计算s₂；

（2）请阅读下面计算s₃的过程：

因为a+b=1，ab=﹣1，

所以s₃=a³+b³=（a+b）（a²+b²）﹣ab（a+b）=1×s₂﹣（﹣1）=s₂+1=

你读懂了吗？请你先填空完成（2）中s₃的计算结果，再用你学到的方法计算s₄．

（3）试写出s_n﹣2，s_n﹣1，s_n三者之间的关系式；

（4）根据（3）得出的结论，计算s₆．

19．（1）利用因式分解简算：9.8²+0.4×9.8+0.04

（2）分解因式：4a（a﹣1）²﹣（1﹣a）

20．阅读材料：若m²﹣2mn+2n²﹣8n+16=0，求m、n的值．

解：∵m²﹣2mn+2n²﹣8n+16=0，∴（m²﹣2mn+n²）+（n²﹣8n+16）=0

∴（m﹣n）²+（n﹣4）²=0，∴（m﹣n）²=0，（n﹣4）²=0，∴n=4，m=4．

根据你的观察，探究下面的问题：

（1）已知x²+2xy+2y²+2y+1=0，求x﹣y的值．

（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a²+b²﹣6a﹣8b+25=0，求△ABC的最大边c的值．

（3）已知a﹣b=4，ab+c²﹣6c+13=0，则a﹣b+c= ．

21．仔细阅读下面例题，解答问题：

例题：已知二次三项式x²﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．

解：设另一个因式为（x+n），得x²﹣4x+m=（x+3）（x+n），则x²﹣4x+m=x²+（n+3）x+3n

∴n+3=﹣4

m=3n 解得：n=﹣7，m=﹣21

∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21．

问题：

（1）若二次三项式x²﹣5x+6可分解为（x﹣2）（x+a），则a= ；

（2）若二次三项式2x²+bx﹣5可分解为（2x﹣1）（x+5），则b= ；

（3）仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x²+5x﹣k有一个因式是（2x﹣3），求另一个因式以及k的值．

22．分解因式：

（1）2x²﹣x；

（2）16x²﹣1；

（3）6xy²﹣9x²y﹣y³；

（4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）²．

23．已知a，b，c是三角形的三边，且满足（a+b+c）²=3（a²+b²+c²），试确定三角形的形状．

24．分解因式

（1）2x⁴﹣4x²y²+2y⁴

（2）2a³﹣4a²b+2ab²．

25．图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．

（1）图②中的阴影部分的面积为 ；

（2）观察图②请你写出三个代数式（m+n）²、（m﹣n）²、mn之间的等量关系是 ．

（3）若x+y=7，xy=10，则（x﹣y）²= ．

（4）实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示．

如图③，它表示了 ．

（5）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（m+n）（m+3n）=m²+4mn+3n²．

26．已知a、b、c满足a﹣b=8，ab+c²+16=0，求2a+b+c的值．

27．已知：一个长方体的长、宽、高分别为正整数a、b、c，且满足a+b+c+ab+bc+ac+abc=2006，

求：这个长方体的体积．

28．（x²﹣4x）²﹣2（x²﹣4x）﹣15．

29．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：

1+x+x（x+1）+x（x+1）²

=（1+x）[1+x+x（x+1）]

=（1+x）²（1+x）

=（1+x）³

（1）上述分解因式的方法是 ，共应用了 次．

（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）²+…+x（x+1）²⁰⁰⁴，则需应用上述方法 次，结果是 ．

（3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）²+…+x（x+1）ⁿ（n为正整数）．

30．对于多项式x³﹣5x²+x+10，如果我们把x=2代入此多项式，发现多项式x³﹣5x²+x+10=0，这时可以断定多项式中有因式（x﹣2）（注：把x=a代入多项式能使多项式的值为0，则多项式含有因式（x﹣a）），于是我们可以把多项式写成：x³﹣5x²+x+10=（x﹣2）（x²+mx+n），

（1）求式子中m、n的值；

（2）以上这种因式分解的方法叫试根法，用试根法分解多项式x³﹣2x²﹣13x﹣10的因式．

参考答案与试题解析

一．填空题（共10小题）

1．（2016秋•望谟县期末）已知x+y=10，xy=16，则x²y+xy²的值为　160　．

【分析】首先提取公因式xy，进而将已知代入求出即可．

【解答】解：∵x+y=10，xy=16，

∴x²y+xy²=xy（x+y）=10×16=160．

故答案为：160．

【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．

2．（2016秋•新宾县期末）两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2（x﹣1）（x﹣9）；另一位同学因看错了常数项分解成2（x﹣2）（x﹣4），请你将原多项式因式分解正确的结果写出来：　2（x﹣3）²　．

【分析】根据多项式的乘法将2（x﹣1）（x﹣9）展开得到二次项、常数项；将2（x﹣2）（x﹣4）展开得到二次项、一次项．从而得到原多项式，再对该多项式提取公因式2后利用完全平方公式分解因式．

【解答】解：∵2（x﹣1）（x﹣9）=2x²﹣20x+18；

2（x﹣2）（x﹣4）=2x²﹣12x+16；

∴原多项式为2x²﹣12x+18．

2x²﹣12x+18=2（x²﹣6x+9）=2（x﹣3）²．

【点评】根据错误解法得到原多项式是解答本题的关键．二次三项式分解因式，看错了一次项系数，但二次项、常数项正确；看错了常数项，但二次项、一次项正确．

3．（2015春•昌邑市期末）若多项式x²+mx+4能用完全平方公式分解因式，则m的值是　±4　．

【分析】利用完全平方公式（a+b）²=（a﹣b）²+4ab、（a﹣b）²=（a+b）²﹣4ab计算即可．

【解答】解：∵x²+mx+4=（x±2）²，

即x²+mx+4=x²±4x+4，

∴m=±4．

故答案为：±4．

【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟记有关完全平方的几个变形公式是解题关键．

4．（2015秋•利川市期末）分解因式：4x²﹣4x﹣3=　（2x﹣3）（2x+1）　．

【分析】ax²+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解，这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a₁，a₂的积a₁•a₂，把常数项c分解成两个因数c₁，c₂的积c₁•c₂，并使a₁c₂+a₂c₁正好是一次项b，那么可以直接写成结果：ax²+bx+c=（a₁x+c₁）（a₂x+c₂），进而得出答案．

【解答】解：4x²﹣4x﹣3=（2x﹣3）（2x+1）．

故答案为：（2x﹣3）（2x+1）．

【点评】此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确分解各项系数是解题关键．

5．（2015春•东阳市期末）利用因式分解计算：202²+202×196+98²=　90000　．

【分析】通过观察，显然符合完全平方公式．

【解答】解：原式=202²+2x202x98+98²

=（202+98）²

=300²

=90000．

【点评】运用公式法可以简便计算一些式子的值．

6．（2015秋•浮梁县校级期末）△ABC三边a，b，c满足a²+b²+c²=ab+bc+ca，则△ABC的形状是　等边三角形　．

【分析】分析题目所给的式子，将等号两边均乘以2，再化简得（a﹣b）²+（a﹣c）²+（b﹣c）²=0，得出：a=b=c，即选出答案．

【解答】解：等式a²+b²+c²=ab+bc+ac等号两边均乘以2得：

2a²+2b²+2c²=2ab+2bc+2ac，

即a²﹣2ab+b²+a²﹣2ac+c²+b²﹣2bc+c²=0，

即（a﹣b）²+（a﹣c）²+（b﹣c）²=0，

解得：a=b=c，

所以，△ABC是等边三角形．

故答案为：等边三角形．

【点评】此题考查了因式分解的应用；利用等边三角形的判定，化简式子得a=b=c，由三边相等判定△ABC是等边三角形．

7．（2015秋•鄂托克旗校级期末）计算：1²﹣2²+3²﹣4²+5²﹣6²+…﹣100²+101²=　5151　．

【分析】通过观察，原式变为1+（3²﹣2²）+（5²﹣4²）+（101²﹣100²），进一步运用高斯求和公式即可解决．

【解答】解：1²﹣2²+3²﹣4²+5²﹣6²+…﹣100²+101²

=1+（3²﹣2²）+（5²﹣4²）+（101²﹣100²）

=1+（3+2）+（5+4）+（7+6）+…+（101+100）

=（1+101）×101÷2

=5151．

故答案为：5151．

【点评】此题考查因式分解的实际运用，分组分解，利用平方差公式解决问题．

8．（2015秋•乐至县期末）定义运算a★b=（1﹣a）b，下面给出了关于这种运算的四个结论：

①2★（﹣2）=3

②a★b=b★a

③若a+b=0，则（a★a）+（b★b）=2ab

④若a★b=0，则a=1或b=0．

其中正确结论的序号是　③④　（填上你认为正确的所有结论的序号）．

【分析】根据题中的新定义计算得到结果，即可作出判断．

【解答】解：①2★（﹣2）=（1﹣2）×（﹣2）=2，本选项错误；

②a★b=（1﹣a）b，b★a=（1﹣b）a，故a★b不一定等于b★a，本选项错误；

③若a+b=0，则（a★a）+（b★b）=（1﹣a）a+（1﹣b）b=a﹣a²+b﹣b²=﹣a²﹣b²=﹣2a²=2ab，本选项正确；

④若a★b=0，即（1﹣a）b=0，则a=1或b=0，本选项正确，

其中正确的有③④．

故答案为③④．

【点评】此题考查了整式的混合运算，以及有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．

9．（2015春•张掖校级期末）如果1+a+a²+a³=0，代数式a+a²+a³+a⁴+a⁵+a⁶+a⁷+a⁸=　0　．

【分析】4项为一组，分成2组，再进一步分解因式求得答案即可．

【解答】解：∵1+a+a²+a³=0，

∴a+a²+a³+a⁴+a⁵+a⁶+a⁷+a⁸，

=a（1+a+a²+a³）+a⁵（1+a+a²+a³），

=0+0，

=0．

故答案是：0．

【点评】此题考查利用因式分解法求代数式的值，注意合理分组解决问题．

10．（2015春•昆山市期末）若多项式x²﹣6x﹣b可化为（x+a）²﹣1，则b的值是　﹣8　．

【分析】利用配方法进而将原式变形得出即可．

【解答】解：∵x²﹣6x﹣b=（x﹣3）²﹣9﹣b=（x+a）²﹣1，

∴a=﹣3，﹣9﹣b=﹣1，

解得：a=﹣3，b=﹣8．

故答案为：﹣8．

【点评】此题主要考查了配方法的应用，根据题意正确配方是解题关键．

二．解答题（共20小题）

11．已知n为整数，试说明（n+7）²﹣（n﹣3）²的值一定能被20整除．

【分析】用平方差公式展开（n+7）²﹣（n﹣3）²，看因式中有没有20即可．

【解答】解：（n+7）²﹣（n﹣3）²=（n+7+n﹣3）（n+7﹣n+3）=20（n+2），

∴（n+7）²﹣（n﹣3）²的值一定能被20整除．

【点评】主要考查利用平方差公式分解因式．公式：a²﹣b²=（a+b）（a﹣b）．

12．（2016秋•农安县校级期末）因式分解：4x²y﹣4xy+y．

【分析】先提取公因式y，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．

【解答】解：4x²y﹣4xy+y

=y（4x²﹣4x+1）

=y（2x﹣1）²．

【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．

13．（2015秋•成都校级期末）因式分解

（1）a³﹣ab²

（2）（x﹣y）²+4xy．

【分析】（1）原式提取a，再利用平方差公式分解即可；

（2）原式利用完全平方公式分解即可．

【解答】解：（1）原式=a（a²﹣b²）=a（a+b）（a﹣b）；

（2）原式=x²﹣2xy+y²+4xy=x²+2xy+y²=（x+y）²．

【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

14．（2015春•甘肃校级期末）先阅读下面的内容，再解决问题，

例题：若m²+2mn+2n²﹣6n+9=0，求m和n的值．

解：∵m²+2mn+2n²﹣6n+9=0

∴m²+2mn+n²+n²﹣6n+9=0

∴（m+n）²+（n﹣3）²=0

∴m+n=0，n﹣3=0

∴m=﹣3，n=3

问题：

（1）若x²+2y²﹣2xy+4y+4=0，求x^y的值．

（2）已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足a²+b²﹣6a﹣6b+18+|3﹣c|=0，请问△ABC是怎样形状的三角形？

【分析】（1）首先把x²+2y²﹣2xy+4y+4=0，配方得到（x﹣y）²+（y+2）²=0，再根据非负数的性质得到x=y=﹣2，代入求得数值即可；

（2）先把a²+b²﹣6a﹣6b+18+|3﹣c|=0，配方得到（a﹣3）²+（b﹣3）²+|3﹣c|=0，根据非负数的性质得到a=b=c=3，得出三角形的形状即可．

【解答】解：（1）∵x²+2y²﹣2xy+4y+4=0

∴x²+y²﹣2xy+y²+4y+4=0，

∴（x﹣y）²+（y+2）²=0

∴x=y=﹣2

∴

；

（2）∵a²+b²﹣6a﹣6b+18+|3﹣c|=0，

∴a²﹣6a+9+b²﹣6b+9+|3﹣c|=0，

∴（a﹣3）²+（b﹣3）²+|3﹣c|=0

∴a=b=c=3

∴三角形ABC是等边三角形．

【点评】此题考查了配方法的应用：通过配方，把已知条件变形为几个非负数的和的形式，然后利用非负数的性质得到几个等量关系，建立方程求得数值解决问题．

15．（2015秋•太和县期末）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．如4=2²﹣0²，12=4²﹣2²，20=6²﹣4²，因此4，12，20这三个数都是和谐数．

（1）36和2016这两个数是和谐数吗？为什么？

（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的和谐数是4的倍数吗？为什么？

（3）介于1到200之间的所有“和谐数”之和为　2500　．

【分析】（1）利用36=10²﹣8²；2016=505²﹣503²说明36是“和谐数”，2016不是“和谐数”；

（2）设两个连续偶数为2n，2n+2（n为自然数），则“和谐数”=（2n+2）²﹣（2n）²，利用平方差公式展开得到（2n+2+2n）（2n+2﹣2n）=4（2n+1），然后利用整除性可说明“和谐数”一定是4的倍数；

（3）介于1到200之间的所有“和谐数”中，最小的为：2²﹣0²=4，最大的为：50²﹣48²=196，将它们全部列出不难求出他们的和．

【解答】解：（1）36是“和谐数”，2016不是“和谐数”．理由如下：

36=10²﹣8²；2016=505²﹣503²；

（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（n为自然数），

∵（2k+2）²﹣（2k）²=（2k+2+2k）（2k+2﹣2k）

=（4k+2）×2

=4（2k+1），

∵4（2k+1）能被4整除，

∴“和谐数”一定是4的倍数；

（3）介于1到200之间的所有“和谐数”之和，

S=（2²﹣0²）+（4²﹣2²）+（6²﹣4²）+…+（50²﹣48²）=50²=2500．

故答案是：2500．

【点评】本题考查了因式分解的应用：利用因式分解把所求的代数式进行变形，从而达到使计算简化．

16．（2015春•兴化市校级期末）如图1，有若干张边长为a的小正方形①、长为b宽为a的长方形②以及边长为b的大正方形③的纸片．

（1）如果现有小正方形①1张，大正方形③2张，长方形②3张，请你将它们拼成一个大长方形 （在图2虚线框中画出图形），并运用面积之间的关系，将多项式a²+3ab+2b²分解因式．

（2）已知小正方形①与大正方形③的面积之和为169，长方形②的周长为34，求长方形②的面积．

（3）现有三种纸片各8张，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），求可以拼成多少种边长不同的正方形．

【分析】（1）根据小正方形①1张，大正方形③2张，长方形②3张，直接画出图形，利用图形分解因式即可；

（2）由长方形②的周长为34，得出a+b=17，由题意可知：小正方形①与大正方形③的面积之和为a²+b²⁼¹⁶⁹，将a+b=17两边同时平方，可求得ab的值，从而可求得长方形②的面积；

（3）设正方形的边长为（na+mb），其中（n、m为正整数）由完全平方公式可知：（na+mb）²=n²a²+2nmab+m²b²．因为现有三种纸片各8张，

n²≤8，m²≤8，2mn≤8（n、m为正整数）从而可知n≤2，m≤2，从而可得出答案．

【解答】解：（1）如图：

拼成边为（a+2b）和（a+b）的长方形

∴a²+3ab+2b²=（a+2b）（a+b）；

（2）∵长方形②的周长为34，

∴a+b=17．

∵小正方形①与大正方形③的面积之和为169，

∴a²+b²=169．

将a+b=17两边同时平方得：（a+b）²=17²，整理得：a²+2ab+b²=289，

∴2ab=289﹣169，

∴ab=60．

∴长方形②的面积为60．

（3）设正方形的边长为（na+mb），其中（n、m为正整数）

∴正方形的面积=（na+mb）²=n²a²+2nmab+m²b²．

∵现有三种纸片各8张，

∴n²≤8，m²≤8，2mn≤8（n、m为正整数）

∴n≤2，m≤2．

∴共有以下四种情况；

①n=1，m=1，正方形的边长为a+b；

②n=1，m=2，正方形的边长为a+2b；

③n=2，m=1，正方形的边长为2a+b；

④n=2，m=2，正方形的边长为2a+2b．

【点评】此题考查因式分解的运用，要注意结合图形解决问题，解题的关键是灵活运用完全平方公式．

17．（2014秋•莱城区校级期中）（1）有若干块长方形和正方形硬纸片如图1所示，用若干块这样的硬纸片拼成一个新的长方形，如图2．

①用两种不同的方法，计算图2中长方形的面积；

②由此，你可以得出的一个等式为：　a²+2a+1 = （a+1）²　．

（2）有若干块长方形和正方形硬纸片如图3所示．

①请你用拼图等方法推出一个完全平方公式，画出你的拼图；

②请你用拼图等方法推出2a²+5ab+2b²因式分解的结果，画出你的拼图．

【分析】（1）要能根据所给拼图运用不同的计算面积的方法，来推导公式；

（2）要能根据等式画出合适的拼图．

【解答】解：（1）①长方形的面积=a²+2a+1；长方形的面积=（a+1）²；

②a²+2a+1=（a+1）²；

（2）①如图，可推导出（a+b）²=a²+2ab+b²；

②2a²+5ab+2b²=（2a+b）（a+2b）．

【点评】本题考查运用正方形或长方形的面积计算推导相关的一些等式；运用图形的面积计算的不同方法得到多项式的因式分解．

18．（2013秋•海淀区校级期末）已知a+b=1，ab=﹣1，设s₁=a+b，s₂=a²+b²，s₃=a³+b³，…，s_n=aⁿ+bⁿ

（1）计算s₂；

（2）请阅读下面计算s₃的过程：

因为a+b=1，ab=﹣1，

所以s₃=a³+b³=（a+b）（a²+b²）﹣ab（a+b）=1×s₂﹣（﹣1）=s₂+1=　4　

你读懂了吗？请你先填空完成（2）中s₃的计算结果，再用你学到的方法计算s₄．

（3）试写出s_n﹣2，s_n﹣1，s_n三者之间的关系式；

（4）根据（3）得出的结论，计算s₆．

【分析】（1）（2）利用完全平方公式进行化简，然后代入a+b，ab的值，即可推出结论；

（3）根据（1）所推出的结论，即可推出S_n﹣2+S_n﹣1=S_n；

（4）根据（3）的结论，即可推出a⁶+b⁶=S₆=S₄+S₅=2S₄+S₃．

【解答】解：（1）S₂=a²+b²=（a+b）²﹣2ab=3；

（2）∵（a²+b²）（a+b）=a³+ab²+a²b+b³=a³+b³+ab（a+b），

∴3×1=a³+b³﹣1，

∴a³+b³=4，即S₃=4；

∵S₄=（a²+b²）²﹣2（ab）²=7，

∴S₄=7；

（3）∵S₂=3，S₃=4，S₄=7，

∴S₂+S₃=S₄，

∴S_n﹣2+S_n﹣1=S_n；

（3）∵S_n﹣2+S_n﹣1=S_n，S₂=3，S₃=4，S₄=7，

∴S₅=4+7=11，

∴S₆=7+11=18．

【点评】本题主要考查整式的混合运算、完全平方公式的运用，关键在于根据题意推出S₂=3，S₃=4，S₄=7，分析归纳出规律：S_n﹣2+S_n﹣1=S_n．

19．（2013春•重庆校级期末）（1）利用因式分解简算：9.8²+0.4×9.8+0.04

（2）分解因式：4a（a﹣1）²﹣（1﹣a）

【分析】（1）利用完全平方公式因式分解计算即可；

（2）先利用提取公因式法，再利用完全平方公式因式分解即可．

【解答】解：（1）原式=9.8²+2×0.2×9.8+0.2²

=（9.8+0.2）²

=100；

（2）4a（a﹣1）²﹣（1﹣a）

=（a﹣1）（4a²﹣4a+1）

=（a﹣1）（2a﹣1）²．

【点评】此题考查因式分解的实际运用，掌握平方差公式和完全平方公式是解决问题的关键．

20．（2013春•惠山区校级期末）阅读材料：若m²﹣2mn+2n²﹣8n+16=0，求m、n的值．

解：∵m²﹣2mn+2n²﹣8n+16=0，∴（m²﹣2mn+n²）+（n²﹣8n+16）=0

∴（m﹣n）²+（n﹣4）²=0，∴（m﹣n）²=0，（n﹣4）²=0，∴n=4，m=4．

根据你的观察，探究下面的问题：

（1）已知x²+2xy+2y²+2y+1=0，求x﹣y的值．

（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a²+b²﹣6a﹣8b+25=0，求△ABC的最大边c的值．

（3）已知a﹣b=4，ab+c²﹣6c+13=0，则a﹣b+c=　7　．

【分析】（1）将多项式第三项分项后，结合并利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出x与y的值，即可求出x﹣y的值；

（2）将已知等式25分为9+16，重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出a与b的值，根据边长为正整数且三角形三边关系即可求出c的长；

（3）由a﹣b=4，得到a=b+4，代入已知的等式中重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出b与c的值，进而求出a的值，即可求出a﹣b+c的值．

【解答】解：（1）∵x²+2xy+2y²+2y+1=0

∴（x²+2xy+y²）+（y²+2y+1）=0

∴（x+y）²+（y+1）²=0

∴x+y=0 y+1=0

解得x=1，y=﹣1

∴x﹣y=2；

（2）∵a²+b²﹣6a﹣8b+25=0

∴（a²﹣6a+9）+（b²﹣8b+16）=0

∴（a﹣3）²+（b﹣4）²=0

∴a﹣3=0，b﹣4=0

解得a=3，b=4

∵三角形两边之和＞第三边

∴c＜a+b，c＜3+4

∴c＜7，又c是正整数，

∴c最大为6；

（3）∵a﹣b=4，即a=b+4，代入得：（b+4）b+c²﹣6c+13=0，

整理得：（b²+4b+4）+（c²﹣6c+9）=（b+2）²+（c﹣3）²=0，

∴b+2=0，且c﹣3=0，即b=﹣2，c=3，a=2，

则a﹣b+c=2﹣（﹣2）+3=7．

故答案为：7．

【点评】此题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

21．（2012秋•温岭市校级期末）仔细阅读下面例题，解答问题：

例题：已知二次三项式x²﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．

解：设另一个因式为（x+n），得x²﹣4x+m=（x+3）（x+n），则x²﹣4x+m=x²+（n+3）x+3n

∴n+3=﹣4

m=3n 解得：n=﹣7，m=﹣21

∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21．

问题：

（1）若二次三项式x²﹣5x+6可分解为（x﹣2）（x+a），则a=　﹣3　；

（2）若二次三项式2x²+bx﹣5可分解为（2x﹣1）（x+5），则b=　9　；

（3）仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x²+5x﹣k有一个因式是（2x﹣3），求另一个因式以及k的值．

【分析】（1）将（x﹣2）（x+a）展开，根据所给出的二次三项式即可求出a的值；

（2）（2x﹣1）（x+5）展开，可得出一次项的系数，继而即可求出b的值；

（3）设另一个因式为（x+n），得2x²+5x﹣k=（2x﹣3）（x+n）=2x²+（2n﹣3）x﹣3n，可知2n﹣3=5，k=3n，继而求出n和k的值及另一个因式．

【解答】解：（1）∵（x﹣2）（x+a）=x²+（a﹣2）x﹣2a=x²﹣5x+6，

∴a﹣2=﹣5，

解得：a=﹣3；

（2）∵（2x﹣1）（x+5）=2x²+9x﹣5=2x²+bx﹣5，

∴b=9；

（3）设另一个因式为（x+n），得2x²+5x﹣k=（2x﹣3）（x+n）=2x²+（2n﹣3）x﹣3n，

则2n﹣3=5，k=3n，

解得：n=4，k=12，

故另一个因式为（x+4），k的值为12．

故答案为：（1）﹣3；（2分）（2）9；（2分）（3）另一个因式是x+4，k=12（6分）．

【点评】本题考查因式分解的意义，解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．

22．（2012春•郯城县期末）分解因式：

（1）2x²﹣x；

（2）16x²﹣1；

（3）6xy²﹣9x²y﹣y³；

（4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）²．

【分析】（1）直接提取公因式x即可；

（2）利用平方差公式进行因式分解；

（3）先提取公因式﹣y，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解；

（4）把（x﹣y）看作整体，利用完全平方公式分解因式即可．

【解答】解：（1）2x²﹣x=x（2x﹣1）；

（2）16x²﹣1=（4x+1）（4x﹣1）；

（3）6xy²﹣9x²y﹣y³，

=﹣y（9x²﹣6xy+y²），

=﹣y（3x﹣y）²；

（4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）²，

=[2+3（x﹣y）]²，

=（3x﹣3y+2）²．

【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，是因式分解的常用方法，难点在（3），提取公因式﹣y后，需要继续利用完全平方公式进行二次因式分解．

23．（2012春•碑林区校级期末）已知a，b，c是三角形的三边，且满足（a+b+c）²=3（a²+b²+c²），试确定三角形的形状．

【分析】将已知等式利用配方法变形，利用非负数的性质解题．

【解答】解：∵（a+b+c）²=3（a²+b²+c²），

∴a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac，=3a²+3b²+3c²，

a²+b²﹣2ab+b²+c²﹣2bc+a²+c²﹣2ac=0，

即（a﹣b）²+（b﹣c）²+（c﹣a）²=0，

∴a﹣b=0，b﹣c=0，c﹣a=0，

∴a=b=c，

故△ABC为等边三角形．

【点评】本题考查了配方法的运用，非负数的性质，等边三角形的判断．关键是将已知等式利用配方法变形，利用非负数的性质解题．

24．（2011秋•北辰区校级期末）分解因式

（1）2x⁴﹣4x²y²+2y⁴

（2）2a³﹣4a²b+2ab²．

【分析】（1）原式提取公因式后，利用平方差公式分解即可；

（2）原式提取公因式，利用完全平方公式分解即可．

【解答】解：（1）2x⁴﹣4x²y²+2y⁴

=2（x⁴﹣2x²y²+y⁴）

=2（x²﹣y²）²

=2（x+y）²（x﹣y）²；

（2）2a³﹣4a²b+2ab²

=2a（a²﹣2ab+b²）

=2a（a﹣b）²．

【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，提取公因式后利用公式进行二次分解，注意分解要彻底．

25．（2011秋•苏州期末）图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．

（1）图②中的阴影部分的面积为　（m﹣n）²　；

（2）观察图②请你写出三个代数式（m+n）²、（m﹣n）²、mn之间的等量关系是　（m+n）²﹣（m﹣n）²=4mn　．

（3）若x+y=7，xy=10，则（x﹣y）²=　9　．

（4）实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示．

如图③，它表示了　（m+n）（2m+n）=2m²+3mn+n²　．

（5）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（m+n）（m+3n）=m²+4mn+3n²．

【分析】（1）可直接用正方形的面积公式得到．

（2）掌握完全平方公式，并掌握和与差的区别．

（3）此题可参照第（2）题．

（4）可利用各部分面积和=长方形面积列出恒等式．

（5）可参照第（4）题画图．

【解答】解：（1）阴影部分的边长为（m﹣n），阴影部分的面积为（m﹣n）²；

（2）（m+n）²﹣（m﹣n）²=4mn；

（3）（x﹣y）²=（x+y）²﹣4xy=7²﹣40=9；

（4）（m+n）（2m+n）=2m²+3mn+n²；

（5）答案不唯一：

例如：

．

【点评】本题考查了因式分解的应用，解题关键是认真观察题中给出的图示，用不同的形式去表示面积，熟练掌握完全平方公式，并能进行变形．

26．（2009秋•海淀区期末）已知a、b、c满足a﹣b=8，ab+c²+16=0，求2a+b+c的值．

【分析】本题乍看下无法代数求值，也无法进行因式分解；但是将已知的两个式子进行适当变形后，即可找到本题的突破口．由a﹣b=8可得a=b+8；将其代入ab+c²+16=0得：b²+8b+c²+16=0；此时可发现b²+8b+16正好符合完全平方公式，因此可用非负数的性质求出b、c的值，进而可求得a的值；然后代值运算即可．

【解答】解：因为a﹣b=8，

所以a=b+8．（1分）

又ab+c²+16=0，

所以（b+8）b+c²+16=0．（2分）

即（b+4）²+c²=0．

又（b+4）²≥0，c²≥0，

则b=﹣4，c=0．（4分）

所以a=4，（5分）

所以2a+b+c=4．（6分）

【点评】本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了非负数的性质以及代数式求值的方法．

27．（2010春•北京期末）已知：一个长方体的长、宽、高分别为正整数a、b、c，且满足a+b+c+ab+bc+ac+abc=2006，

求：这个长方体的体积．

【分析】我们可先将a+b+c+ab+bc+ac+abc分解因式可变为（a+1）（b+1）（c+1）﹣1，就得（1+b）（c+1）（a+1）=2007，由于a、b、c均为正整数，所以（a+1）、（b+1）、（c+1）也为正整数，而2007只可分解为3×3×223，可得（a+1）、（b+1）、（c+1）的值分别为3、3、223，所以a、b、c值为2、2、222．就可求出长方体体积abc了．

【解答】解：原式可化为：a+ab+c+ac+ab+abc+b+1﹣1=2006，

a（1+b）+c（1+b）+ac（1+b）+（1+b）﹣1=2006，

（1+b）（a+c+ac）+（1+b）=2007，

（1+b）（c+1+a+ac）=2007，

（1+b）（c+1）（a+1）=2007，

2007只能分解为3×3×223

∴（a+1）、（b+1）、（c+1）也只能分别为3、3、223

∴a、b、c也只能分别为2、2、222

∴长方体的体积abc=888．

【点评】本题考查了三次的分解因式，做题当中用加减项的方法，使式子满足分解因式．

28．（2007秋•普陀区校级期末）（x²﹣4x）²﹣2（x²﹣4x）﹣15．

【分析】把（x²﹣4x）看作一个整体，先把﹣15写成3×（﹣5），利用十字相乘法分解因式，再把3写成（﹣1）×（﹣3），﹣5写成1×（﹣5），分别利用十字相乘法分解因式即可．

【解答】解：（x²﹣4x）²﹣2（x²﹣4x）﹣15，

=（x²﹣4x+3）（x²﹣4x﹣5），

=（x﹣1）（x﹣3）（x+1）（x﹣5）．

【点评】本题考查了十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程，本题需要进行多次因式分解，分解因式一定要彻底．

29．（2007春•镇海区期末）阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：

1+x+x（x+1）+x（x+1）²

=（1+x）[1+x+x（x+1）]

=（1+x）²（1+x）

=（1+x）³

（1）上述分解因式的方法是　提公因式法　，共应用了　2　次．

（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）²+…+x（x+1）²⁰⁰⁴，则需应用上述方法　2004　次，结果是　（1+x）²⁰⁰⁵　．

（3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）²+…+x（x+1）ⁿ（n为正整数）．

【分析】此题由特殊推广到一般，要善于观察思考，注意结果和指数之间的关系．

【解答】解：（1）上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次．

（2）需应用上述方法2004次，结果是（1+x）²⁰⁰⁵．

（3）解：原式=（1+x）[1+x+x（x+1）]+x（x+1）³+…+x（x+1）ⁿ，

=（1+x）²（1+x）+x（x+1）³+…+x（x+1）ⁿ，

=（1+x）³+x（x+1）³+…+x（x+1）ⁿ，

=（x+1）ⁿ+x（x+1）ⁿ，

=（x+1）ⁿ⁺¹．

【点评】本题考查了提公因式法分解因式的推广，要认真观察已知所给的过程，弄清每一步的理由，就可进一步推广．

30．（2007春•射洪县校级期末）对于多项式x³﹣5x²+x+10，如果我们把x=2代入此多项式，发现多项式x³﹣5x²+x+10=0，这时可以断定多项式中有因式（x﹣2）（注：把x=a代入多项式能使多项式的值为0，则多项式含有因式（x﹣a）），于是我们可以把多项式写成：x³﹣5x²+x+10=（x﹣2）（x²+mx+n），

（1）求式子中m、n的值；

（2）以上这种因式分解的方法叫试根法，用试根法分解多项式x³﹣2x²﹣13x﹣10的因式．

【分析】（1）根据（x﹣2）（x²+mx+n）=x³+（m﹣2）x²+（n﹣2m）x﹣2n，得出有关m，n的方程组求出即可；

（2）由把x=﹣1代入x³﹣2x²﹣13x﹣10，得其值为0，则多项式可分解为（x+1）（x²+ax+b）的形式，进而将多项式分解得出答案．

【解答】解：（1）方法一：因（x﹣2）（x²+mx+n）=x³+（m﹣2）x²+（n﹣2m）x﹣2n，

=x³﹣5x²+x+10，（2分）

所以

，

解得：m=﹣3，n=﹣5（5分），

方法二：在等式x³﹣5x²+x+10=（x﹣2）（x²+mx+n）中，

分别令x=0，x=1，

即可求出：m=﹣3，n=﹣5（注：不同方法可根据上面标准酌情给分）

（2）把x=﹣1代入x³﹣2x²﹣13x﹣10，得其值为0，

则多项式可分解为（x+1）（x²+ax+b）的形式，（7分）

用上述方法可求得：a=﹣3，b=﹣10，（8分）

所以x³﹣2x²﹣13x﹣10=（x+1）（x²﹣3x﹣10），（9分）

=（x+1）（x+2）（x﹣5）．（10分）

【点评】此题主要考查了因式分解的应用，根据已知获取正确的信息，是近几年中考中热点题型同学们应熟练掌握获取正确信息的方法．