帮你学好因式分解(二)——分解需八戒

初学因式分解时，以下“八戒”希望大家引以为诫．

一戒意义不清晰

例1　下列从左边到右边的变形中，哪些是因式分解？

（1）x^2＋3x＋2＝x（x＋3）＋2；（2）x^2＋１＝x(x+1/x)；（3）（x＋3）（x－3）＝x^2－9；（4）x^2－2x＋1＝(x-1)^2；（5）x^2＋2x＋4＝(x+2)^2.

解析：因式分解是一种特殊的变形，但变形者却不一定是因式分解，只有是把一个多项式化为几个整式的积的形式的变形才是因式分解．这里要特别注意三点：一是积的形式，二是积的因式必须是整式，三是必须确保变形后的式子与原式相等．只有具备这三点的变形才是因式分解．象（1）和（3）都不是积的形式，虽然（1）有点积的样子，但最终还是和的形式；（2）、（4）、（5）虽然都是积的形式，但（2）中的因式(x+1/x)显然不是整式，（5）虽然是整式的积，但左右两边不相等.因此，是因式分解的只有（4）．

二戒全提用减去

例2　分解因式：a^2b－2ab^2＋ab．

解析：各项有公因式ab，提取后另一个因式必须用原多项式a^2b－2ab^2＋ab除以公因式ab所得，特别注意最后一项ab提取公因式ab后是1而不是0．即原式＝ab（a－2b＋1）．切忌写成：原式=ab(a-2b)。

三戒回头做计算

例3　分解因式：axy（a－b）＋bxy（a－b）．

解析：提取公因式xy（a－b），得原式＝xy（a－b）（a＋b），此时已是完美无缺，切忌因为（a－b）（a＋b）难得能用可爱的平方差公式再回头做乘法计算，又把原式变形为：xy(a^2-b^2)．

四戒提取不彻底

例4 分解因式：4a^2b^2－12a^3b.

解析：提取公因式要求把所有的公因式必须全部提取，不能只提取一部分，特别是系数的公约数．在本题中，公因式是4a^2b，提取后为：原式＝4a^2b（b－3a）.

五戒因式不整理

例5 分解因式：3(x-2y)^2－（x＋y）（x－2y）.

解析：提取公因式（x－2y）后得原式＝（x－2y）[3（x－2y）－（x＋y）]，此时另一个因式显然很不雅观，应把它作进一步整理为：（3x－6y－x－y）＝（2x－7y），如此不仅美观，而且有时还可以发现有新的公因式.因此，原式＝（x－2y）[3（x－2y）－（x＋y）]＝（x－2y）（2x－7y）.

六戒以积替代幂

例6 分解因式：（m－n）m^2＋（n－m）n^2.

解析：原式＝（m－n）m^2-（m－n）n^2

＝（m－n）（m^2－n^2）＝（m－n）（m＋n）（m－n），此时相同的因式相乘（m－n）（m－n），应写成平方的形式(m-n)^2，即最后结果应写成（m＋n）(m-n)^2.

七戒变形不恒等

例7　分解因式：y^2＋y＋1/4．

解析：因式分解是一种恒等变形，恒等变形的手段是绝不能采用去分母的，切忌采用去分母错解为：原式＝4y^2＋4y＋1＝(2y+1)^2．正确的解法有二：

（一）：原式＝(y+1/2)^2；

（二）：原式＝1/4·(4y^2＋4y＋1)

＝1/4·(2y+1)^2．；

八戒分解不完整

例8　分解因式：(3a-2b)^2-(a-4b)2.

解析：运用平方差公式分解，得原式＝（3a－2b＋a－4b）（3a－2b－a＋4b）＝（4a－6b）（2a＋2b）.此时所得的两个因式务必再观察能否继续分解？显然每个因式中的各项还有公因数可提取，因此，应再进一步分解，得原式＝（4a－6b）（2a＋2b）＝2（2a－3b）·2（a＋b）＝4（2a－3b）（a＋b）.

上述“八戒”连起来恰好是如下口诀：

一戒意义不清晰；二戒全提用减去；

三戒回头做计算；四戒提取不彻底；

五戒因式不整理；六戒以积替代幂；

七戒变形不恒等；八戒分解不完整。