利用导数法求解圆锥曲线的中点弦问题

探究：在点差法中我们设了两个点，每个点中又有两个量，能不能减少未知量的个数，利用中点坐标公式我们可以将四个未知量变成两个，如下：

从图左中可以看出点A其实是两个椭圆的对称点，而过A点的直线则是两个椭圆的公共弦，两个椭圆式子相减得到公共弦，这跟两个圆方程相减得到相交弦方程一样。

那么如果点A的位置不在椭圆内而在椭圆上的话，从上面可知点A依旧是两椭圆的对称点，此时两个椭圆的位置关系相切，如上图右。

所以上面的结论可以直接用来写出椭圆的切线方程，当然先用导数求得斜率，再用点斜式写出切线方程也可以，只不过没有上面的结论简洁直接，但是这跟用导数法求斜率有什么关系？我们继续以这个例题为例：

很多学生问点A又不在椭圆上，为什么求导可以直接代入点A呢，其实很简单，点A虽然不在椭圆上，但是一定在把椭圆按比例缩小的椭圆上，此时对缩小之后的椭圆进行求导可以发现不改变原椭圆方程求导之后的结果，因此可以直接对原椭圆方程进行求导，代入点求得过点A的直线的斜率。