[初中数学] 平行线判定&性质精析(1)———掌握几个诀窍

本讲为七下第一讲，重点对平行的判定和性质做一个归纳．

一、知识梳理

1、三线八角

直线AB，CD被直线EF所截，形成了8个角，其中，

同位角有：∠1与∠5，∠2与∠6，

∠3与∠7，∠4与∠8；

内错角有： ∠3与∠5，∠4与∠6；

同旁内角有：∠3与∠6，∠4与∠5；

2、三种角的认识方法

3、平行线的判定方法书写

(1)∵∠1＝∠2（已知）

∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）

(2)∵∠3＝∠2（已知）

∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）

(3)∵∠2＋∠4＝180°（已知）

∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）

4、平行线的性质书写

(1)∵AB∥CD（已知）

∴∠1＝∠2（两直线平行，同位角相等）

(2)∵AB∥CD（已知）

∴∠3＝∠2（两直线平行，内错角相等）

(3)∵AB∥CD（已知）

∴∠2＋∠4＝180°（同旁内角互补，两直线平行）

二、几个诀窍

01

找准截线

例1：

如图，填空：

(1)找出∠B的所有同位角，并说明是哪两条直线被哪条直线所截得到的．

(2)∠4和∠5是同位角吗？如果是，说明是哪两条直线被哪条直线所截得到的，如果不是，请说明理由．

(3)找出其余的同位角．

(4)找出所有的内错角，并说明是哪两条直线被哪条直线所截得到的．

(5)找出∠A的所有同旁内角，并说明是哪两条直线被哪条直线所截得到的．

分析：

两条直线被第三条直线所截，要找同位角，内错角，同旁内角，关键在于，找两个角的共线边！

通常，共线边所在直线就是截线，那么剩下的两条边所在直线就是被截直线．

(1)要找∠B的同位角，则关注它的两条边，BG，BA，则可以任选一条作为截线，如选BG为截线，则过BG上的点F，点C的直线FD，CE就可作为被截直线，同理，如选BA为截线，则过BA上的点D的直线DE，DF就可作为被截直线，则四个同位角很快可以确定．

(2)两个角若是同位角，首先要满足组成这两个角的边，有一条是共线边，即一眼看去，只能有“三线”．

(3)(4)(5)，注意图中一共有几个角，数字标注的有9个，单独字母标注的有2个，还有两个是组合角∠ADF，∠BDE，一共13个角，一个一个数，做到不重不漏．

解答：

(1)∠B和∠1是直线BG和直线DE被直线AB所截形成的同位角．

∠B和∠ADF是直线BG和直线DF被直线AB所截形成的同位角．

∠B和∠6是直线BA和直线FD被直线BG所截形成的同位角．

∠B和∠9是直线BA和直线CE被直线BG所截形成的同位角．

(2)不是，∠4的两条边是BD，DF，∠5的两条边是DE，EC，不满足三线，不是同位角．

(3)∠A和∠4，∠A和∠BDE，∠A和∠5，∠2和∠8，∠6和∠9，∠7和∠8．

(4)∠A和∠9是直线BA和直线CG被直线AC所截形成的内错角．

∠1和∠5是直线AD和直线CE被直线BE所截形成的内错角．

∠2和∠3是直线AE和直线DF被直线DE所截形成的内错角．

∠2和∠BDE是直线AE和直线BD被直线DE所截形成的内错角．

∠3和∠7是直线DE和直线BF被直线DF所截形成的内错角．

∠4和∠6是直线BD和直线FG被直线BF所截形成的内错角．

∠5和∠9是直线DE和直线CG被直线CE所截形成的内错角．

∠7和∠ADF是直线BF和直线AD被直线DF所截形成的内错角．

(5)∠A和∠1是直线AE和直线DE被直线AD所截形成的同旁内角．

∠A和∠2是直线AD和直线DE被直线AE所截形成的同旁内角．

∠A和∠ADF是直线AC和直线DF被直线AD所截形成的同旁内角．

∠A和∠2是直线AD和直线DE被直线AE所截形成的同旁内角．

∠A和∠8是直线AD和直线CF被直线AC所截形成的同旁内角．

∠A和∠B是直线AC和直线BC被直线AB所截形成的同旁内角．

例2：

如图所示，BE是AB的延长线，量得

∠CBE＝∠A＝∠C.

(1)由∠CBE＝∠A，可得____∥____，

根据是_____________________.

(2)由∠CBE＝∠C，可得____∥____，

根据是_____________________.

(3)由∠CBA＋∠C＝180°，

可得____∥____，

根据是_______________________.

(4)由∠CBA＋∠A＝180°，

可得____∥____，

根据是_______________________.

分析：

对于这种看似是平行四边形背景的题目，大家非常容易错，这里给出了角的条件，我们就可以马上找到共线边，作为截线，两个角的另外两条边作为被截直线，就是平行线．

如∠CBE＝∠A，发现它们的共线边是AE，则AE就是截线，两条被截直线AD，CD平行．

解答：

(1) CB∥DA，同位角相等，两直线平行

(2) CD∥AB，内错角相等，两直线平行

(3) CD∥AB，同旁内角互补，两直线平行

(4) CB∥DA，同旁内角互补，两直线平行

02

找准被截截线

例3：

如图，AB∥EF∥CD，EG∥BD，则图中与∠1相等的角(∠1除外)共有 ( )

A．6个 B．5个

C．4个 D．3个

分析：

有了平行，其实就有了2条被截直线，这样，再去找截线，就能找到另外的角．

AB∥EF，则AB，EF为被截直线，EG为截线，找到∠1的内错角∠2．EG∥BD，则EG，BD为被截直线，EH，BG可为截线，找到∠1的同位角∠5，∠2的内错角∠3，AB∥CD，AB，CD可为截线，找到∠5的内错角∠6，别忘了∠3的对顶角，∠4．

解答：B

例4：

如图，

若AC∥EF，则∠A＋∠______＝180°，

∠______＋∠______＝ 180°．

若∠2＝∠______ ，则AE∥BF．

若∠A＋∠______＝180°，

或∠______＋∠______＝180°，则AE∥BF．

分析：

由两直线平行，可知被截直线，然后再确定截线，问题迎刃而解．有时，截线不止一条．AC∥EF，又明确∠A，则截线必然经过点A，这里要找同旁内角，则两个角应该在截线AE同旁．AE∥BF，又明确∠2，则则截线必然经过点D，截线为EC，这里要找同位角．最后，确定截线为AB或EF即可秒解．

解答：

若AC∥EF，则∠A＋∠AEF＝ 180°，

∠F＋∠FBA＝ 180°．

若∠2 ＝∠4，则AE∥BF．

若∠A＋∠ABF＝180°，

或∠F＋∠FEA＝180°，

则AE∥BF．

03

格式规范选讲

从本章起，我们真正进入几何证明的书写，因此，格式必须规范．所以，我们来归纳一些常见的证明理由．

(1)平行线的判定和性质(共6条，不再详述)

(2)已知(写在条件后)

(3)角平分线定义，垂直定义

(4)邻补角定义(两个相邻的角和为180°)，

平角定义(几个相邻的角的和为180°)

(5)等量代换

(∠1＝∠2，∠2＝∠3，则∠1＝∠3)

(6)等式性质

(∠1＝∠2，∠3＝∠4，则∠1－∠3＝∠2－∠4）

(7)同角的余角(补角)相等

(∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3＝90°，则∠1＝∠3)

(8)平行于同一直线的两直线平行

(a∥b，b∥c，则a∥c)

其中，(5)(8)有些同学易混淆，前者是数量关系，后者是位置关系，要分清．(5)(7)也要注意，∠2是中间角，前者和∠1，∠3都相等，后者和∠1，∠3都互余(互补)，是不一样的．

(4)中，邻补角是针对两个角，平角可以由几个角的和组成．

我们来看2个例题，学会写证明的几何语言．

例5：

如图，点B在AC上，BD⊥BE，∠1＋∠C＝90°，射线CF与BD平行吗？用两种方法说明理由．

分析：

要证CF∥BD，则要找相等的同位角或内错角，或互补的同旁内角，我们发现截线只能是BC，则只能利用同位角∠2和∠C，或同旁内角∠DBC和∠C．

解答：

法1

∵BD⊥BE(已知)

∴∠DBE＝90°(垂直定义)

∴∠1＋∠2＝180°－∠DBE＝90°(平角定义)

∵∠1＋∠C＝90°(已知)

∴∠2＝∠C(同角的余角相等)

∴CF∥BD(同位角相等，两直线平行)

法2：

∵BD⊥BE(已知)

∴∠DBE＝90°(垂直定义)

∵∠1＋∠C＝90°(已知)

∴∠1＋∠2＋∠DBE ＝90°＋90°＝180°(等式性质)

即∠DBC＋∠C＝180°

∴CF∥BD(同旁内角互补，两直线平行)

例6：

如图，AC平分∠BAD，∠ACB＝∠BAC，∠D＝90°，EF⊥CD，试说明BC∥EF.

分析：

由∠D＝90°，EF⊥CD，可证AD∥EF，则再证AD∥BC，利用平行的传递性即可得证．

解答：

∵AC平分∠BAD(已知)

∴∠1＝∠3(角平分线定义)

∵∠1＝∠2(已知)

∴∠2＝∠3(等量代换)

∴AD∥BC(内错角相等，两直线平行)

∵EF⊥CD(已知)

∴∠4＝90°＝∠D(垂直定义)

∴AD∥EF(同位角相等，两直线平行)

∴BC∥EF(平行于同一直线的两直线平行)