[初中数学] 平行线判定&性质精析(2)——挖掘中间角与基本模型

本讲我们重点对平行的判定和性质运用中的稍难题作个整理．重点分2个版块，

1、学会寻找中间角；

2、认识平行线拐角模型．

接上一讲《七下第1讲 平行线判定&性质精析(1)———掌握几个诀窍》

1、学会寻找中间角

平行线的许多证明题，需要在判定定理与性质中不断切换。

由角等(互补)，得平行，是判定．

由平行，得角等(互补)，是性质．

而在证明时，我们时常需由结论倒推，找到其中关键的中间角．

例1：

如图，AD∥BC，∠A＝∠C，试说明AB∥DC．

分析：

要证AB∥DC，结合已知的∠A和∠C，可以借助∠CDE＝∠A，或∠ABF＝∠C来证，以∠CDE为例，它就是一个关键的中间角，不仅与∠A是同位角，与∠C也是内错角，位置特殊，非常重要．

解答：

∵AD∥BC (已知)

∴∠C＝∠CDE(两直线平行，内错角相等)

又∵∠A＝∠C (已知)

∴∠A＝∠CDE(等量代换)

∴AB∥DC(同位角相等，两直线平行)

变式：

如图，∠1＝∠2，∠A＝∠C．试说明∠E＝∠F．

分析：

本题同样要关注中间角，∠1＝∠2的条件不能继续得到结论，就得找中间角．显然，找它们的对顶角，如∠1的对顶角就是∠2的同位角，接着可以证AB∥CD，而要将平行的条件与∠A＝∠C结合起来，又要再找一个中间角，结合例1，易知可找∠ABF或∠CDE．

解答：

如下图，

∵∠1＝∠3(对顶角相等)

又∵∠2＝∠3(已知)

∴∠1＝∠3(等量代换)

∴AB∥CD(同位角相等，两直线平行)

∴∠A＝∠4(两直线平行，同位角相等)

又∵∠A＝∠C(已知)

∴∠C＝∠4(等量代换)

∴AE∥FC(内错角相等，两直线平行)

∴∠E＝∠F(两直线平行，内错角相等)

例2：

如图所示，已知∠1＋∠2＝180°，∠B＝∠3，你能判断∠ACB与∠AED的大小关系吗?说明理由．

分析：

本题同样也要找中间角，∠1＋∠2＝180°的条件不能直接用，不难发现∠1的邻补角和∠2是内错角，这就是关键的中间角，推出∠DFE与∠2相等后，可证AB∥EF，此时结合∠B＝∠3的条件，可发现，∠ADE是关键角．

解答：

∵∠1＋∠2＝180°(已知)

∠1＋∠DFE＝180°(邻补角定义)

∴∠2＝∠DFE(同角的补角相等)

∴BD∥FE(内错角相等，两直线平行)

∴∠3＝∠ADE(两直线平行，内错角相等)

∵∠3＝∠B(已知)

∴∠B＝∠ADE(等量代换)

∴DE∥BC(同位角相等，两直线平行)

∴∠AED＝∠ACB (两直线平行，同位角相等)

2、认识平行线拐角模型

初中几何证明中，模型教学还是非常必要的，尤其在一些填空选择中，记住模型结论，往往事半功倍，这一讲，我们就来认识初中阶段几何上的第一个模型，平行线拐角模型．

模型1，2：

如图，AB∥CD，探究∠B，∠D与∠BED之间的关系．

分析：

显然本题不添加辅助线是无法解决的，因此，从这个模型开始，我们要接触初中阶段几何的第一种辅助线，由于∠B和∠D在被截直线内侧，我们要把∠B和∠D进行转化，可以通过内错角或同旁内角，而此时想到过点E作平行，就可以同时构造出∠B和∠D的内错角．

解答：

过点E作EF∥AB．

图1 图2

如图1，

∴∠B＝∠1，

∵AB∥CD，

∴EF∥CD，

∴∠2＝∠D，

∴∠B＋∠D＝∠1＋∠2，

即∠B＋∠D＝∠BED．

如图2，

∴∠B＋∠1＝180°，

∵AB∥CD，

∴EF∥CD，

∴∠2＋∠D＝180°，

∴∠B＋∠1＋∠2＋∠D＝360°，

即∠B＋∠D＋∠BED＝360°．

模型3，4：

如图，AB∥CD，探究∠B，∠D与∠BED之间的关系．

分析：

显然，图形位置虽变，但添加辅助线的方法是不变的．

解答：

过点E作EF∥AB．

图3 图4

如图3，过点E作EF∥AB．

∴∠B＝∠BEF，

∵AB∥CD，

∴EF∥CD，

∴∠D＝∠1，

∴∠BED＝∠BEF－∠1

即∠BED＝∠B－∠D

如图4，过点E作EF∥AB．

∴∠B＝∠1，

∵AB∥CD，

∴EF∥CD，

∴∠D＝∠BEF，

∴∠BED＝∠BEF－∠1

即∠BED＝∠D－∠B

例3：

已知AB∥CD，∠1＝55°，∠C ＝100°，则∠A＝ ______°

分析：

显然，本题蕴含了模型2，求出∠1的补角，∠AEC的度数，利用模型2的结论，即可口算．

解答：

由题意得，∠AEC＝125°，∠A＋∠AEC＋∠C＝360°，∴∠A＝360°－125°－100°＝135°

例4：

如图1，已知AB∥CD，∠E＝80°，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，则∠BFD＝ ______°

分析：

本题其实蕴含了2个模型，模型1和模型2，我们可以分别找出∠ABF，∠CDF与∠BFD的关系，∠E，∠ABE，∠CDE的关系，进而可以利用整体思想来解决．

解答：

作EG∥AB，FH∥AB，

∵AB∥CD，

∴EG∥AB∥FH∥CD，

∴∠ABF＝∠BFH，∠CDF＝∠DFH，

∠ABE＋∠BEG＝180°，∠GED＋∠CDE＝180°，

∴∠ABE＋∠BEG＋∠GED＋∠CDE＝360°

∵∠BED＝∠BEG＋∠DEG＝80°，

∴∠ABE＋∠CDE＝280°，

∵∠ABF和∠CDF的角平分线相交于E

∴∠ABF＋∠CDF＝140°，

∴∠BFD＝∠BFH＋∠DFH＝140°

本讲思考题