压轴题当中等腰三角形的分类讨论

在近几年的全国各地中考数学试卷当中，与等腰三角形有关的试题越来越灵活，特别是在一些综合性较强的压轴题中，等腰三角形都起到关键性的作用，甚至一些压轴题都是围绕等腰三角形来设计。

关于等腰三角形的的求解问题，常常以不同的方式呈现，不少学生由于忽略了分类讨论，造成无法准确解决问题，导致丢分。下面我们就对此类问题进行分析讲解，希望能帮助到大家的学习。

为什么等腰三角形能跟分类讨论扯上关系呢？

先一起来看看等腰三角形的概念：有两条边相等的三角形角等腰三角形，相等的两个边称为这个三角形的腰。在一个等腰三角形中，相等的两条边称为这个三角形的腰，另一边叫做底边。两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。

一个三角形有三条边，只要其中两边相等，那么这个三角形就是等腰三角形，这就相当于给分类讨论开了一个入口，围绕边的问题可以展开多种讨论。同时根据等腰三角形的判定定理：等角对等边，即如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，这也可以根据“角”来进行分类讨论。

典型例题分析1：

如图（1），△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB=AC=EF=9，∠BAC=∠DEF=90º，固定△ABC，将△DEF绕点A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止．现不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE，DF(或它们的延长线)分别交BC(或它的延长线) 于G，H点，如图(2)

（1）问：始终与△AGC相似的三角形有 及 ；

（2）设CG=x，BH=y，求y关于x的函数关系式（只要求根据图(2)的情形说明理由）

（3）问：当x为何值时，△AGH是等腰三角形.

考点分析：

相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；等腰直角三角形；旋转的性质

题干分析：

（1）根据△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，利用相似三角形的判定定理即可得出结论．

（2））由△AGC∽△HAB，利用其对应边成比例列出关于x、y的关系式：9：y=x：9即可．

（3）此题要采用分类讨论的思想，①当∠GAH=45°是等腰三角形．的底角时，如图（1）：可知解得CG和②当∠GAH=45°是等腰三角形．的顶角时，如图（2）：由△HGA∽△HAB，利用其对应边成比例即可求得答案．

解题反思：

此题主要考查学生对相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质等知识点的理解和掌握，综合性较强，难易程度适中，是一道很典型的题目．

我们知道等腰三角形是一种特殊而又十分重要的三角形，具有“等边对等角”和“等角对等边”的性质。因此，等腰三角形问题常需分情况讨论，按边讨论，这是较为常见的方法，同时在一些题目当中需两个从角着手进行讨论的问题。

典型例题分析2：

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D以每秒1个单位长度的速度由点A向点B匀速运动，到达B点即停止运动，M，N分别是AD，CD的中点，连接MN，设点D运动的时间为t．

（1）判断MN与AC的位置关系；

（2）求点D由点A向点B匀速运动的过程中，线段MN所扫过区域的面积；

（3）若△DMN是等腰三角形，求t的值．

考点分析：

三角形相关的综合题．

题干分析：

（1）利用三角形中位线证明即可；

（2）分别取△ABC三边AC，AB，BC的中点E，F，G，并连接EG，FG，根据题意可得线段MN扫过区域的面积就是▱AFGE的面积求解即可；

（3）分三种情况：①当MD=MN=3时，②当MD=DN，③当DN=MN时，分别求解△DMN为等腰三角形即可．

解题反思：

本题主要考查了相似形综合题，涉及等腰三角形的性质，平行四边形的面积及中位线，解题的关键是分三种情况讨论△DMN是等腰三角形．

等腰三角形相关的分类讨论综合问题是近几年中考数学的热点，如将三角形的三条线段长度(或长度的平方)分别用参数表示再分类讨论；

分类讨论时，结合等腰三角形的"三线合一"及三角形的相似(或锐角三角函数)解决问题；

通过作图法寻找符合条件的等腰三角形；

原三角形分类讨论不太方便时，将三角形转化为与其相似的三角形进行分类讨论等。

典型例题分析3：

如图（1），矩形ABCD的一边BC在直接坐标系中x轴上，折叠边AD，使点D落在x轴上点F处，折痕为AE，已知AB=8，AD=10，并设点B坐标为（m，0），其中m＞0．

（1）求点E．F的坐标（用含的式子表示）；

（2）连接OA，若△OAF是等腰三角形，求m的值；

（3）如图（2），设抛物线y=a（x﹣m﹣6）2+h经过A．E两点，其顶点为M，连接AM，若∠OAM=90°，求a．h．m的值．

考点分析：

二次函数综合题。

题干分析：

（1）根据四边形ABCD是矩形以及由折叠对称性得出AF=AD=10，EF=DE，进而求出BF的长，即可得出E，F点的坐标；

（2）分三种情况讨论：若AO=AF，OF=FA，AO=OF，利用勾股定理求出即可；

（3）由E（m+10，3），A（m，8），代入二次函数解析式得出M点的坐标，再利用△AOB∽△AMG，求出m的值即可．

解题反思：

此题主要考查了二次函数的综合应用以及相似三角形的判定与性质，二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型特别注意利用数形结合以及分类讨论思想是这部分考查的重点也是难点同学们应重点掌握．

等腰三角形是一种特殊而又十分重要的三角形，基于其特殊性，大家在解决问题的过程中，要对于给定条件的可能性，画出不同的三角形，从而得出不同结果，这也是很多学生在解这些问题时，经常容易出现错误的地方。

因此，每一位都要特别小心，在求解有关等腰三角形的问题时有必要进行分类讨论，考虑问题要要全面，不要漏解，一定要注意分类讨论。