相似是两个图形之间的一种关系，是初二学过的全等的一个进阶，今后求线段求角度的一种重要手段，因此这一章的重要性大家也就明白了。下面我们先从比例线段开始讲起~（本文篇幅较长，建议分成两至三次去看）
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一、比例线段的基本概念
1、比例线段的定义（低频考点）
（1）两条线段的比：选用同一长度单位量得的两条线段的长度的比，叫做这两条线段的比。
（2）成比例线段：如果线段和的比等于线段和的比，那么线段，，，叫做成比例线段，记作或，其中，叫做比的前项，，叫做比的后项，，叫做比例内项，，叫做比例外项，叫做，，的第四比例项。（看着好繁琐对不对，那我问你，小学学的外项积等于内项积还记得不？记得？OK，那就够了）
（3）比例中项：若，则称是，的比例中项。
一般上面的这部分期末考察的不多，考察的题目也相对比较基础，比如2015-2016南开期末考过比例尺：
例：在比例尺的地图上，量得甲、乙两地距离是，则甲、乙两地的实际距离为__________。
分析：设两地实际距离为，根据题意得，所以，注意题目最后的单位是“”，所以记得单位换算~
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二、比例的性质
1、比例的基本性质
可能很多同学表示上边这堆乱七八糟的都是啥？我咋从来没见过？莫慌，问题不大。比例的基本性质和反比定理以及更比定理这几个掌握了就可以了，因为后边相似三角形列比例关系需要用，别的就了解一下也就完了~
2、黄金分割（低频考点）
上面官方的语言看着有些繁琐，我一般会这么翻译“三点共线，短的比上长的等于长的比上整个的，那这个比就是黄金比”，能明白引号里边的意思，做题也就不成问题了。比如，咱们来一个思考题~
按照上面黄金分割的定义来分析，那我们是不是可以类似的定义一个“黄金比例身材”？也就是：以肚脐为分割点，上半身的长度比上下半身的长度等于下半身的长度比上整个身高。如果满足这个关系，那就是一个黄金比例的身材。断臂维纳斯知道不?这个雕塑就是一个典型的黄金比例。
黄金分割考察不多，近几年期末中去年的河西考了一次，题目是这样的：
例：
分析：根据概念来看，很容易的能选出A是正确选项对吧~
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三、平行线分线段成比例（基础）
平行线分线段成比例其实也是相似的一种基本模型，通过此时的线段对应成比例延伸到后面三角形相似之后得到的相似比。刚才说这部分是基础，考察的难度也不大。下面咱们看看近几年的期末是如何考察的：
例：
分析：这个题是三条平行线退化成两条的情况，也就是“A字型”。根据“上比下等于上比下”的原理，我们可以轻松得到，也就是，解得，选择。
比例线段的知识点咱先说这么多，毕竟那些只是这一章的引入，后面咱来“正经”的聊聊相似三角形。
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四、图形的相似（基础）
1、我们把形状相同的图形叫做相似图形。也就是说，一个图形可以看成是另一个图形的等比放大或缩小。
比如下面这两张图片，这就是相似的关系。
（注意：在这里强调一下全等和相似的关系。全等的特点是什么？形状相同，大小相等。相似呢？形状相同。因此相似是包含全等的。全等是相似比为1:1的相似。题目中经常出现的话就是：全等一定相似，但相似不一定全等。这句话是对的~）
2、相似多边形
（注意：对于多边形相似而言，必须强调“角分别相等，边成比例”一个不能少！不能都和三角形一样只看角对应相等就证明相似。比较常见的就是正方形和矩形，同样都是4个直角，但并不一定相似，如果题目说的是两个正多边形，那没问题）
看到这儿有没有困了的同学？来，开饭了，醒醒，下面讲正经事儿了
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五、相似三角形的判定（重点，难点）
1、相似三角形定义：
注意：
看懂了上边，咱来个题：
例：
分析：①全等一定相似，正确；②两个等腰三角形如果说顶角相等，那么根据三角形内角和为180°以及等边对等角，它们的底角也一定相等，正确；③两个等腰是否相似需要看它们的边是否对应成比例或者角是否对应相等，比如等腰直角三角形和等边三角形就不相似，错误；④菱形自身四条边都相等可以满足边对应成比例，但是角度不确定，错误，故选B。
思考一个问题：如果将上题中②改为“有一个角是30°的两个等腰三角形相似”，那么这句话对还是不对？为什么？思考一下，稍后公布答案~
如果题目只是说有两个等腰三角形都有30°，而没有明确这个30°是顶角还是底角，当然是不能说明相似的。因为可以是“30°，30°，120°”的钝角等腰三角形，也可以是“30°，75°，75°”的锐角等腰三角形。
2、相似三角形的判定（重点难点）
例1：
分析：这是一个很明显的A字模型对吧？直接用平行线分线段成比例就可以吧？自己算算，核对一下下面的答案吧
例2：
分析：原图的三边比为，也就是。A选项三边比；B选项三边比；C选项三边比；D选项三边比。综上，只有B满足条件。
（其实这个题有个简便方法，相似三角形是不是得有对应角相等？有没有注意到原图有一个135°？是不是四个选项中只有B才有135°？懂了吧？秒解）
（啰嗦两句：其实讲道理，这条判定使用的频率相对比较小，所以解题时不需要优先考虑这一条，但正因为这个用的少，所以真正用到的时候才可能会忘……其实我的意思就是，虽然它用的少，但也得时不时地看两眼）
例3：
分析：这个题就属于比较直接，两个直角三角形直角相等，两条直角边对应成比例，直接用判定就OK啦~
（重中之重！重中之重！！重中之重！！！重要的重点得用6个“重”。这个两角对应相等是咱们以后见到的绝大多数情况，做题优先考虑使用这条。相似条件不够肿么办？先找两组相等的角压压惊就好了~建议少年们做题的时候可以像上边的模型图那样，把相等的角用相同的符号：点或圈之类的标注出来的，做题效率会高很多的，一般人儿我不告诉）
例4：
分析：读完题先把角度标一标，∠B=∠C=∠ADE=60°，然后△ABD里边，点+圈=120°对吧，平角∠BDC上，点+圈=120°对吧，点=点出来了吧？相似有了，比例关系能不能自己写了？其实，这题就是考察一个“一线三等角”的模型。什么？一线三等角是啥你居然不知道？还不赶紧看看后文！
其实今后用到判定两直角三角形相似的题会有很多，因此上面总结的这部分要好好看，记住了，明天数学课要考，哈哈
例5：
分析：如果说翻折之后的还能继续落在AC上，那么说明折痕DE和被折叠的AC之间的关系是……垂直对吧？然后A字模型就有了，根据是CE的中点，那这三条小线段，和的关系是不是就有了，后边我不说了行么？
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六、相似三角形的性质（重点）
例1：
分析：
例2：
分析：第一问根据平行线分线段成比例的基本模型就能知道相似吧？第二问的重点在于关注第一问中两个相似三角形的高以及第二问所求的正方形边长之间的关系，有了这个方向，设未知数的方程思想就浮现出来了吧？（我不会告诉你后边有对这个模型的讲解的，傲娇脸）
（1）
（2）
例3：
分析：由平移可以得到平行对吧？是不是有了诸如这样的4组相似？由平移距离可以推导相似比对么？那面积比等于？当我们求出来和四边形的面积比之后，剩下的是不是就很简单了？
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七、位似（基础，一般这部分考试考察一至两个题，难度不大）
（温馨提示：如果觉得这部分的知识点没啥必要看或者说太长，可直接看知识点后面的红字部分~）
1、位似的定义
2、位似图形性质
3、位似作图
4、用坐标描述位似变换
我来总结两句：说得简单一点，位似只是相似的一种特殊情况，当相似图形所有顶点的连线都交在同一点（位似中心）时也就出现了位似，位似比是等于相似比的，唯独需要注意的就是图形位似经常会需要分类讨论，位似中心的两边儿，一边儿一个。你看这么总结完是不是更加糊涂
例：
分析：对于这个题，我有一个比较麻烦的方法……把尺拿出来，自己画图，画完图读坐标，完事儿~当然，如果机智如你发现了这个题位似中心是坐标原点O，想到了直接把每个点的横纵坐标乘以2得到一个结果，再乘以一个-2得到另一个结果那就再好不过了。
八、相似的基本模型（这个是点儿干货，一丁点水都没兑，好好see一see吧~）
1、与平行线有关的相似
①“A”字模型
②反“A”模型
③“8”字模型
图3中，，
④内接矩形与相似三角形
例1：
分析：8字模型很明显对吧，只要能把线段长度标出来相似比就出来了。而题目所求的的线段的一部分，勾股求没毛病吧？用相似比求和是不是没啥难度了？
例2：
分析：这个题比上面的复杂一些，不过好在方法比较多~
（你是不是想说方法多也耽误不了你不会。首先根据题目问的东西，是不是能大致猜到这个题考察相似？然后来，拿眼看，图里有相似么？没有吧？没有相似但考相似，是不是……需要用到我们最喜欢的作辅助线，开不开心？如果我想把题目问的放到一个基本的相似模型的话，是不是能想到B，C，D可以在一个A字模型中？那是不是少一条平行线？平行线从哪个点作？线段里边的C对吧？那……作完辅助线后边能不能自己标标比例算算数了？）
2、与角平分相关的相似（低频考点，我就偷个懒不给例题啦）
3、与射影定理有关的相似
例3：
分析：这个就直接用结论就可以了吧？看着别扭的话把手机转过来，让线段AC水平放置，那么这个图的BF就是知识点里面的线段AD了吧？
4、一线三等角模型与相似
例4：
分析：还记得我上面讲等边三角形标点圈的那个题么？自己标一遍，来来来，赶紧的！
5、手拉手旋转模型与相似
九、最后来俩“简单的”
1、相似与圆（看完这四个字是不是感觉整个人都不好了？别急，后面还有更刺激的，期待不？）
例1：
分析：第一问，有切点证切线，直接连半径。第二问其实就是一个射影定理的图吧？把互余关系的角度标一标，是不是就有，剩下的只要能用勾股求出AD，那AE是不是也就有了？
例2：
分析：第一问，注意题目的已知条件，是所对的圆周角，而是的一半，也就是说对吧？后面自己写~第二问的①是不是又是射影定理的图？推导个相似就出来了吧？第二问的②，求，没问题吧？的话是不是意味着是的角平分线啊？角平分线有什么性质？角平分线上的点到角两边距离相等。而刚好就是其中的一个距离，所以是不是该做另一个距离了？辅助线有了。辅助线是不是构造出了一个A字模型？通过模型求出辅助线的长度是不是也就求出了的长度？
2、相似与二次函数（这才叫“强强联合”）
例：
分析：第一问待定系数法求出解析式之后根据勾股逆定理推导出三角形的形状，这个比较基础。第二问，相似三角形存在问题。首先，题目说的“以点为顶点的三角形和以点为顶点的三角形相似”和“”两种说法是不一样的，区别在于前者没有顶点的对应关系，因此需要分类讨论。好在，也就是两点一定是对应点，剩下的分两类也就可以了。把点坐标设出来，线段的长度也就有了，剩下的用相似的性质对应角相等以及对应边成比例也就可以自己解决了吧？
相似三角形属于难点，而且对这部分的要求也会比较高。因为在今后考试的两个压轴题（24几何综合25二次函数综合）中需要经常自己构建相似三角形去解决问题，因此对于模型我们不光要做到能认识，还得做到见到模型的一部分的时候自己补出来另一部分的模型再去解题。
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