高考数学：与函数零点有关的高考压轴题的解题技巧与答题模板！

与函数零点有关的高考压轴题解题技巧

1.函数零点常与导数知识结合用于判断函数存在唯一 一个零点等命题.解题时常先判断函数在某区间上存在零点(存在性),再说明函数在相应区间上单调递增(或单调递减)即可(唯一性).

2.当题目不是求零点，而是利用零点的个数求参数的范围时，一般采用数形结合法.

利用导数解决与不等式有关的问题模板

处理双变量不等式问题，往往需要先经过适当的变形处理，以便灵活构造函数，并利用函数的单调性加以求解．破解此类题的关键点如下．

1.适当变形、灵活转化．结合题设条件，有时需要先对含有双变量的不等式进行“除法”变形，再对舍有双变量的局部代数式进行“换元”处理，将双变量问题等价转化为单变量问题；有时需要进行“移项”变形，从而使不等式两边具有相同的结构特点．

2.构造函数、利用导数．若转化为单变量问题，则可直接构造函数，并借助导数加以求解；若转化后不等式两边具有相同的结构特点，则可根据该结构特点构造函数，并借助导数加以求解．

经典例题：[2016·全国Ⅰ,21]

已知函数f(x)＝(x－2)ex＋a(x－1)2有两个零点.

(1)求a的取值范围；

(2)设x1,x2是f(x)的两个零点，证明：x1＋x2<2.

解析：(1)f′(x)＝(x－1)ex＋2a(x－1)＝(x－1)(ex＋2a).

①设a＝0,则f(x)＝(x－2)ex,f(x)只有一个零点.

②设a>0,则当x∈(－∞,1)时，f′(x)<0；当x∈(1,＋∞)时，f′(x)>0,所以f(x)在(－∞,1)上单调递减，在(1,＋∞)上单调递增.

又f(1)＝－e,f(2)＝a,

故f(x)存在两个零点.

③设a<0,由f′(x)＝0得x＝1或x＝ln(－2a).

若a≥－e/2,则ln(－2a)≤1,故当x∈(1,＋∞)时，f′(x)>0,因此f(x)在(1,＋∞)上单调递增.

又当x≤1时，f(x)<0,所以f(x)不存在两个零点.

若a<－e/2,则ln(－2a)>1,

故当x∈(1,ln(－2a))时，f′(x)<0；当x∈(ln(－2a),＋∞)时，f′(x)>0,因此f(x)在(1,ln(－2a))上单调递减，在(ln(－2a),＋∞)上单调递增.

又当x≤1时，f(x)<0,所以f(x)不存在两个零点.

综上，a的取值范围为(0,＋∞).

(2)不妨设x1<x2.由(1)知，x1∈(－∞,1),x2∈(1,＋∞),2－x2∈(－∞,1),f(x)在(－∞,1)上单调递减，所以x1＋x2<2等价于f(x1)>f(2－x2),即f(2－x2)<0.