「初中数学」一元一次方程应用题设元的四种方法及如何找等量关系

解应用题时，首要任务是选设未知数，如何准确恰当地设未知数呢？没有固定的方法，但有一点是肯定的，那就是设未知数要有助于表示相关量，有助于简化解题过程。设什么元需要根据具体问题的条件确定，常见的设元方法有:直接设元法、间接设元法、整体设元法、辅助设元法等。那么在做题时又如何找等量关系呢？抓住几个原则:(一).分析题中的不变量原则，利用不变量来列方程

(二).用不同的方式表示同一个量原则，以此得到相等关系，从而列出方程

(三)利用"总量等于各个分量之和”原则列方程

具体方法上可以利用平时掌握的一些公式等基本数量关系，也可以抓住问题中的和、差、倍、分关系中的关键词来寻找相等关系。

以上所说，并不单指一元一次方程，所说的方法不可能全面，要学会每一部分知识仍需要同学们自己辛苦，多归纳，多总结，会用了才是你的方法。

一.直接设元法

1.某停车场的收费标准如下:中型汽车的停车费为12元/辆，小型汽车的停车费为8元/辆，现在停车场共有50辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费480元，中、小型汽车各有多少辆？

【分析】这道题我们抓住"小型车的车费十中型车的车费=总车费"这一关系列方程，具体设谁为未知数，哪种都可以.

解:设中型汽车有x辆，则小型汽车有(50一x)辆.根据题意，得

12x+8(50一x)=480

解得，x=20

则50一x=50一20=30.

答:中型汽车有20辆，小型汽车有30辆.

(1)和、差、倍、分问题

基本数量关系:增长量=原有量×增长率，现有量=原有量+增长量，现有量=原有量-降低量.

抓住关键性的词语，多、少、倍、几分之几以及原有量、现有量之间的关系导出相等关系.

2.男、女生人数有若干人，男生与女生人数之比为4:3，后来走了12名女生，这时男生人数恰好是女生人数的2倍，求原来男生和女生的人数.

【分析】抓住关键词"男生人数恰好是女生人数的2倍”，也可以理解为女生人数恰好是男生人数的一半，等量关系是:男生人数=2(女生原有人数一走了的人数)或女生原来的人数一走了的人数=男生人数的一半.一般看见有比例关系的条件时，未知数设为一份数，所以.

解:设原来男生人数为4x人，则女生人数为3x人，根据题意，得

3x一12=(4x)/2

解得×=12.

原来男生人数为4x=48

原来女生人数为3x=36

答:原来男生人数为x人，原来女生人数为36人.

(2)体积变化问题

基本数量关系，常见几何图形的面积、周长、体积计算公式.等量关系有，形变体不变，即变形前的体积=变形后的体积;形变体积也变，但质量不变，即变形前的质量=变形后的质量.

3.用直径为4厘米的圆柱形钢材，铸造3个直径为2厘米，高为16厘米的圆柱形零件，问需要截取多长的圓柱形钢材？

【分析】等量关系是:铸造前圆柱形钢材的体积=铸造后三个圆柱的体积.

解:设需截取x厘米的圆柱形钢材，根据题意得

π(4/2)²x=3×π×(2/2)²×16

解得x=12.

答:需要截取12厘米的圓柱形钢材.

(3)行程问题

这类问题比较复杂，基本数量关系为，路程=速度×时间.

①相向问题的等量关系为:甲走的路程+乙走的路程=两地距离.

②追及问题的等量关系为:第一，同地不同时出发，前者走的路程=追者走的路程;第二，同时不同地出发，前者所走的路程+两地距离=追者所走的路程.

③航行问题基本数量关系:路程=速度×时间，顺水速度=静水速度十水流速度，逆水速度=静水速度一水流速度，静水速度=(顺水速度十逆水速度)/2，水流速度=(顺水速度一逆水速度)/2.寻等量关系时，抓住两码头之间距离不变，水流速度不变，船在静水中的速度不变的特点来考虑.

注意:行程问题，关注出发的时间、地点及行走的方式，往往画路线图，帮助分析等量关系，同时注意相遇和追击的区别.

4.小红骑车以每小时10km的速度从甲地到乙地，返回时因事绕路而行，比去时多走了8km，虽然速度增加到每小时12km，但比去时还是多用了10min，水甲、乙两地之间的距离.

【分析】注意单位统一，10min=1/6h.设甲、乙两地之间距离为xkm，则去时的时间为x/10，回来的时间为(x十8)/12，根据回来时间比去时多用了1/6h，可列方程

解:设甲、乙两地之间的距离为xkm，根据题意可得

x/10+1/6=(x十8)/12

解得x=30

答:甲、乙两地之间的距离为30km.

5.一艘轮船从A港到B港顺水航行需要4.5小时，从B港到A港逆水航行需要6小时，已知水流速度为每小时2千米，求船在静水中的速度.

【分析】抓住，从A港到B港顺水航行的路程=从B港到A港逆水航行的速程不变.

解:船在静水中的速度为x千米/时，则船在逆水航行的速度为(x一2)千米/时，船在顺水航行的速度为(x+2)千米/时，依题意得

4.5(x+2)=6(x一2)

解得x=14.

答:船在静水中的速度为14千米/时.

(4).劳动力调配问题

将一处的人员调往另一处，一处的人数减少多少，另一处的人数会增加多少，两处的人数之间往往存在着倍分关系，可从题意中的关键性词语找等量关系

6.铸造车间共有工人86人，若每人每天加工A种零件15个或B种零件12个或C种零件9个，应怎样按排加工三种零件的人数，才能使加工后的零件按3个A种零件，2个B种零件和1个C种零件配套？

【分析】等量关系是:加工A种零件的人数十加工B种零件的人数+加工C种零件的人数=86.设有x人加工A种零件，因为3个A零件，2个B零件和1个C零件配套，所以最后A种零件:B种零件:C种零件=3:2:1，也就是15x:(12×加工B种零件的人数):(9×加工C种零件的人数)=3:2:1.所以加工B种零件的人数为5x/6人，加工C种零件的人数为5x/9人.(必须学会这种用未知数表示相关的量).

解:设按排加工A种零件为x人，根据题意得，x十5x/6+5x/9=86

解得x=36

加工B种零件人数为:5x/6=30

加工C种零件人数为:5x/9=20

答:安排36人加工A种零件，30人加工B种零件，20人加工C种零件.

(5).利润问题

基本数量关系为:商品利润=商品售价一商品进价，利润率=利润/进价×100%，销售额=成本(进价)×(1+利润率).

7.某商场以每件80元的价格购进了某种品牌衬衫500件，并以每件120元的价格销售了400件，商场准备采取促销措施，将剩下的衬衫降价销售，每件衬衫降价多少元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标？

【分析】等量关系为:销售额=进价×(1十利润率)

解:设每件衬衫降价x元，依题意得

400×120+(500-400)(120-x)=500×80×(1+45℅)

解得x=20

答:每件衬衫降价20元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45℅的预期目标.

(6)储蓄问题

基本量的关系为:利息=本金×利率×期数，税后利息=本金×利率×期数×(1一利息税)，本息和=本金【1十利率×期数×(1十利息税)】

8.小明买了一年期债券150元，一年到期后小明用本息和正好买了一个价格是162元的书包，问小明买的债券的年利率是多少？(无利息税)

【分析】等量关系是:本息和=本金×(1十利率×期数)

解:设年利率是x，依题意得

150×(1十x)=162

解得x=8℅

答:小明买的债券的年利率是8℅.

(7)工程问题

基本数量关系是，工作量=工作效率×工作时间，各部分工作量之和等于工作总量(单位1).

9.一项工程，甲队独做10小时完成，乙队独做15小时完成，丙队独做20小时完成，开始时三队合作，中途甲队另有任务，由乙、丙二队完成，从开始到工程完成共用了6小时，问甲队实际做了几小时？

【分析】甲队做的时间，也是三队合作的时间，等量关系是，甲、乙、丙合作的工作量+乙、丙合作的工作量=1.

解:设甲队实际做了x小时，依题意得

(1/10+1/15十1/20)x十(1/15十1/20)(6一x)=1

解得x=3.

答:甲队实际工作了3小时.

二.间接设元法

(8)数字问题.关键是掌握多位数的表示法，若一个多位数，个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c，则这个三位数为100c+10b+a.抓住新数与原数之间的关系列方程.

10.有一个两位数，它的十位数字比个位数字大5，且这个两位数比它的两个数位上的数字之和的8倍还要大5，求这个两位数.

解:设个位数字为x，则十位数字为(x+5)，这个两位数为10(x+5)十x.依题意得

10(x+5)十x一8(x十5十x)=5

解得x=1，x十5=6，这个两位数为61

答:这个两位数是61.

三.整体设元法

11.一个五位数的个位上的数为4，这个五位数加上6120后所得的新五位数的万位、千位、百位、十位、个位上的数恰巧分别为原五位数的个位、万位、千位、百位、十位上的数，求原五位数.

【分析】此题各数位上数字之间没有明确的数量关系，只是位置发生了改变，所以整体设未知数.

解:设原五位数去掉个位数后的四位数为x，则原五位数为10x+4，依题意得

(10x+4)十6120=4×10000+x

解得x=3764，10x+4=37644

答:原五位数是37644.

四.辅助设元法

当题中直接设未知数，不好表示其他量的关系，或一个未知数也不能满足需要，这时不妨再设一个未知数来列方程.

12.某公司只生产普通汽车和新能源汽车，该公司在去年的汽车产量中，新能源汽车占总量的10℅，今年由于国家能源政策的导向和油价上涨的影响，计划将普通汽车的产量减少10℅，为保持总产量与去年相等，则今年新能源汽车的产量应增加的百分数是多少？

【分析】此题汽车的总产量未知，知道所占的百分数也不好表示量的关系，所以多设一个辅助未知数，则关系就明朗.

解:设去年的总产量为a，今年新能源汽车的产量应增加的百分数为x，则去年普通汽车的产量为90℅a，新能源汽车的产量为10℅a，今年普遍汽车的产量为90a(1一10℅)，新能源汽车的产量为10%a(1+x)，根据题意得

90%a(1一10℅)+10℅a(1十x)=a

解得x=0.9=90℅

答:今年新能源汽车的产量应增加的百分数为90℅.

【总结】以上只是几种常见的题型，还有很多没有列举出来，同学们要活学活用，根据问题的特点，灵活地设未知数，切不可生搬硬套，多总结，多归纳，形成自己的一套设元法。